Matrice symétrique positive

etanche
etanche
dans Algèbre
Bonjour
Soient $A_1,\ldots,A_n $ [des matrices] de $M_p(R)$ symétriques définies positives.
Soit $B$ la matrice de coefficients $b_{ij} = \dfrac{1}{\det(A_i+A_j)}.$
Montrer que la matrice $B$ est symétrique positive.
Merci.

Source prépas agreg.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Tiens, cette jolie question n'a pas eu de succès. Pour $n=2$, ce n'est déjà pas si trivial, ça me semble synonyme de la log-convexité du déterminant.
  • etanche
    etanche
    Y a une intégrale multiple utilisant exponentielle pour les matrices symétriques définies positives dans le résultat y a le déterminant et $\pi$.
  • P.
    P.
    Peux-tu être plus clair ?
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    La somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice symétrique définie positive.

    Le déterminant d'une matrice symétrique définie positive est strictement positif, son inverse existe donc et est strictement positif.

    bij = bji, par simple commutativité de l'addition de valeurs positives.

    Donc la matrice ainsi formée est symétrique positive.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • MrJ
    MrJ
    @Dreamer : Tu n’as pas la bonne définition de matrice positive.
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonsoir.

    Je ne comprend pas.

    Je n'ai pas dis que B est symétrique définie positive, seulement symetrique positive, comme demandé dans l'énoncé.

    À bientôt.

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  • raoul.S
    raoul.S
    Dreamer a écrit:
    Donc la matrice ainsi formée est symétrique positive.

    Peut-être qu'il faudrait développer un peu plus. À moins que quelque chose m'échappe comment peut-on en déduire que toutes les valeurs propres de $B$ sont positives ?
  • P.
    P.
    Quiproquo classique. Les programmes français de taupe appellent matrice positive ce que le reste du monde appelle une matrice semi-définie positive. Et le reste du monde et Dreamer appellent matrice positive une matrice à coefficients positifs.
  • Dreamer
    Dreamer
    Cela nécessite effectivement une explication supplémentaire.

    La forme quadratique associée à la matrice $B$, à savoir $x^t B x$ est positive (en fait strictement positive) pour tout vecteur $x$, ce qui conduit à la propriété.

    À bientôt.

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  • P.
    P.
    'et voilà pourquoi votre fille est muette'.
  • noobey
    noobey
    Pas trop compris Dreamer. x peut etre à coordonnees negatives...

    B = 1,50],[50,1 n'est pas definie positive...
  • JLT
    JLT
    Soit $b_{ij}=1/\sqrt{\det(A_i+A_j)}$. Soient $t_i$ des réels.

    $\displaystyle \pi^{n/2}\sum_{i,j} t_it_j b_{ij}=\sum_{i,j} t_it_j\int_{\R^n}e^{-\langle (A_i+A_j)x,x\rangle}\,dx=\int_{\R^n}(\sum_i t_i e^{-\langle A_i x,x\rangle}\,dx)^2\ge 0$ donc $[b_{ij}]$ est positive. Comme le produit de Schur de deux matrices positives est positive, la matrice de l'énoncé est positive.
  • etanche
    etanche
    @JLT oui c’est bien cette intégrale multiple avec exponentielle dont je faisais allusion. Bien joué.
  • P.
    P.
    On peut pousser le raisonnement pour montrer que $\left(\det(A_i+A_j)^{-p}\right)_{1\leq i,j\leq n}$ est définie positive pour non seulement $2p$ entier, mais aussi pour $p>(n-1)/2$ grace à l’intégrale de Bartlett
    $$
    \int_{P_n}e^{-\mathrm{trace}AU}(\det U)^{p-\frac{n+1}{2}}dU=C(\det A)^{-p},
    $$ où $P_n$ est l'ensemble des matrices définies positives d'ordre $n$ et $C$ ne depend que de $p$ et $n.$
  • etanche
    etanche
    @P. joli prolongement.
    Merci à Math Coss, P. , Dreamer, noobey, JLT pour vos réponses.
  • P.
    P.
    Moi, c'est JLT que je remercie: avoir detecte que $\det$ etait artificiel dans l'exo, pour le remplacer par sa racine, qui etait l'objet naturel, ah, quelle astuce!
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