Matrices non diagonalisables

A vue d'œil, peut-être commencer par décomposer C=R+iR?

Si $A\in S_n(\C)$ on peut écrire $A=A_R+iA_I$ avec $A_R, A_I$ les parties réelles et imaginaires de $A$.

Une condition suffisante pour que $A$ soit diagonalisable est que $A_R$ et $A_I$ commutent.

Donc une condition nécessaire pour que $A$ ne soit pas diagonalisable est que $A_R$ et $A_I$ ne commutent pas.

Soyons optimistes et disons qu'il reste à montrer que c'est également une condition suffisante...

Bonjour etanche c'est un exercice connu une fois on peut trouver le résultat (en anglais) comme: Toutes matrice complexe $H$ est similaire à une matrice symétrique $S$, soit $H=PSP^{-1}$, cherches tu une caractérisation pareil, je ne vois autrement.
$S=P^{-1}HP$ avec $H$ non digonalisable.