Application linéaire

Il manque une ligne.

Bonjour,
Pour iii) on a bien dim C =6, vous pourrez en donner une base je pense facilement car toute matrice $M$ dans C s'écrit... comme somme de 6 matrices linéairement indépendantes.

Je vous laisse compléter.

Bonjour
Je trouve la dernière question étonnante car demander d'expliciter une matrice 16x16 demande tout de même un certain temps
Tu as eu le courage de te lancer dans le calcul et pas moi...
En effet pour le noyau de $\psi$ qui est $C$ on te fait utiliser la réduction de $A$, ce qui par le théorème du rang donne tout de suite le rang de $\psi$ : $16-6$

Mais cette réduction peut s'appliquer à l'espace image :
en effet $AM-MA=P(DM'-M'D)P^{-1}$ avec $M'=P^{-1}MP$, $M$ n'étant pas ici forcément dans $C$ mais dans $E$
Or en posant $M'=(m'_{i,j})$ il est facile d'expliciter $DM'-M'D$ : 6 termes sont nuls et les 10 autres sont "indépendants" ( ne dépendent que d'un seul $m'_{i,j}$).
Donc l'espace vectoriel des $DM'-M'D$ est de dimension 10, donc celui des $P(DM'-M'D)P^{-1}$ aussi.