Bonjour
J'aimerais savoir comment on peut calculer à la main le PGCD de deux polynômes dans les corps finis.
Si nous nous plaçons dans F11 comment calculer à la main le pgcd de X^6+7 et de X^5+3X+1 ?
En $X^6+7$, combien de fois $X^5+3X+1$ ? Il y va $X$ fois et \[
X^6+7-X(X^5+3X+1)=-3X^2-X+7.\] On cherche donc le pgcd de $X^5+3X+1$ et $-3X^2-X+7$. En $X^5+\cdots$, combien de fois $-3X^2$ ? Il y va $\frac1{-3}X^3=-4X^3$ (car $3\times4=1$ dans $\mathbb F_{11}$) et \[
X^5+3X+1+4X^3(-3X^2-X+7)=\text{etc.}\]
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
X^6+7-X(X^5+3X+1)=-3X^2-X+7.\] On cherche donc le pgcd de $X^5+3X+1$ et $-3X^2-X+7$. En $X^5+\cdots$, combien de fois $-3X^2$ ? Il y va $\frac1{-3}X^3=-4X^3$ (car $3\times4=1$ dans $\mathbb F_{11}$) et \[
X^5+3X+1+4X^3(-3X^2-X+7)=\text{etc.}\]