Parties réelles et imaginaires et module

Ah oui effectivement, je me suis trompé, je l'ai inclus car j'avais fait $5i + 0; 5 + 0i$ et j'ai bêtement ajouté $ 0 + 0i$ et le module de $0$ est bien $ \sqrt{0 + 0} = \sqrt{0} = 0$... Désolé, effectivement la réponse était bien 12...

Merci encore,
Mohammed R.

D'accord merci ev (tu)
Chaurien : Bon du coup j'ai trouvé le bon résultat ($12$) mais c'est vrai que c'est une très bonne idée de faire des dessins pour des équations diophantiennes de ce type (si j'ai bien compris de quoi tu parles...), je n'y avais pas pensé et t'en remercie (tu).

D'ailleurs est-il possible que des équations diophantiennes n'admettent que peu de solutions ? Voire aucune ? Je demande ça car résoudre l'équation diophantienne suivante : $a^2 + b^2 = 0$ ne me permet de trouver comme solutions que $0$, mais il est possible que je me trompe...

Merci d'avance,
Mohammed R.

gai requin :
J'ouvre un fil d'arithmétique pour ton équation.

Chaurien :
Soit $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$. L'on considère à chaque fois l'équation $a^2 + b^2 = n$.
- Pour $n \in \mathbb{Z}_-^*$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=0$, nous avons l'unique couple suivant : $(0,0)$.
- Pour $n=1$, nous avons les $4$ couples suivants : $(0, -1), \; (0,1), \; (-1,0), \; (1,0)$.
- Pour $n=2$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-1,-1), \; (-1;1), \; (1,-1), \; (1,1)$.
- Pour $n=3$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=4$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-2, 0), \; (2,0), \; (0, -2), \; (0,2)$.
- Pour $n=5$, nous avons les $8$ couples suivants : $(-2,-1), \; (-2,1), \; (2,-1), \; (2,1), \; (-1,-2), \; (-1,2), \; (1,-2), \; (1,2)$.
- Pour $n=6$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=7$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=8$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-2,-2), \; (-2,2), \; (2,-2), \; (2,2)$.
- Pour $n=9$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-3,0), \; (3,0), \; (0,-3), \; (0,3)$.
- Pour $n=10$, nous avons les $8$ couples suivants : $(-3,-1), \; (-3,1), \; (3,-1), \; (3,1), \; (-1,-3), \; (-1,3), \; (1,-3), \; (1,3)$.
- Pour $n=11$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=12$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=13$, nous avons les $8$ couples suivants : $(-3,-2), \; (-3,2), \; (3,-2), \; (3,2), \; (-2,-3), \; (-2,3), \; (2,-3), \; (2,3)$.
- Pour $n=14$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=15$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=16$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-4,0), \; (4,0) \; (0,-4), \; (0,4)$.
- Pour $n=17$, nous avons les $8$ couples suivants : $(-4,-1), \; (-4,1), \; (4,-1), \; (4,1), \; (-1,-4), \; (-1,4), \; (1,-4), \; (1,4)$.
- Pour $n=18$, nous avons les $4$ couples suivants : $(-3,-3), \; (-3,3), \; (3,-3), \; (3,3)$.
- Pour $n=19$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=20$, nous avons les $8$ couples suivants : $(-4,-2), \; (-4,2), \; (4,-2), \; (4,2), \; (-2,-4), \; (-2,4), \; (2,-4), \; (2,4)$.
- Pour $n=3$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=3$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=3$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=3$, il n'y a pas de couple qui soit solution.
- Pour $n=25$, nous avons les $12$ couples suivants : $(-5,0), \; (5,0), \; (0,-5), \; (0,5), \; (-4,-3), \; (-4,3), \; (4,-3), \; (4,3), \; (-3,-4), \; (-3,4), \; (3,-4), \; (3,4)$.

L'on remarque comme tu l'as dis qu'il y a des valeurs pour lesquelles il n'y a pas de solution.
Il y a $4$ solutions pour $n$ s' :
$a)$ il s'agit d'un carré parfait,
$b)$ il n'existe aucun couple $(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}^2, \; \alpha \ne \beta, \; \alpha \ne -\beta, \; \alpha^2 + \beta^2 = n$. Autrement dit s'il s'agit du double d'un carré parfait respectant la condition $b)$, ll n'y aura que quatre solutions.

Il y a $8$ solutions ou plus s'il existe au moins un couple pour $n$ $(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}^2, \; \alpha \ne \beta, \; \alpha \ne -\beta, \; \alpha^2 + \beta^2 = n$.

Je vous prie de me dire si mes conditions sont mauvaises au travers d'un contre-exemple notamment.

Merci encore,
Mohammed R.

nicolas.patrois :
je trouve ça super mais il me reste un petit doute ... Comment fait-on pour savoir avec les $0$ dans quel quadrant ils "comptent" ?

D'accord, je l'ai fait et je pense qu'il ne faut considérer qu'un des deux segments pour chaque quadrant et le compte est bon.
Sinon, qu'est-ce que le leslant ? Est-ce ce symbole : $\leq$ ?

Merci pour tout,
Mohammed R.

Merci encore à l'ensemble des intervenantes et intervenants (tu).
Mohammed R.