Élément primitif
Bonjour
Je me heurte à un pb.
Je dois donner un élément primitif de Q[a,j] avec a racine de x^3-x+1=0
J'ai un élément de correction m'indiquant que cet élément primitif est s=a+j.
Je sais déjà que Q[ s] inclus ds Q[a,j]
Je dois démontrer l'inclusion réciproque.
J'essaie pour cela d'exprimer a et j comme des Qpolynomes en s. Mais n'y parvient pas.
Je suis bloqué.
Pourriez vous me mettre sur la voie ?
Merci beaucoup.
Je me heurte à un pb.
Je dois donner un élément primitif de Q[a,j] avec a racine de x^3-x+1=0
J'ai un élément de correction m'indiquant que cet élément primitif est s=a+j.
Je sais déjà que Q[ s] inclus ds Q[a,j]
Je dois démontrer l'inclusion réciproque.
J'essaie pour cela d'exprimer a et j comme des Qpolynomes en s. Mais n'y parvient pas.
Je suis bloqué.
Pourriez vous me mettre sur la voie ?
Merci beaucoup.
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Réponses
Voici ce que je voulais écrire :
je sais déjà que Q["s"] inclus ds Q[a,j]
me reste à démontrer l'inclusion réciproque.
j'ai calculé s^2, s^3 .... et je ne vois pas quelle fraction rationnelle ou quel polynôme je pourrais confectionner pour tomber sur a.
je suis un peu perplexe car je me dis que Q[a,j]:Q est égal à Q[a,j]:Q[a] * Q[a]:Q soit au pire 9 et comme je ne me vois pas construire un polynôme de degré 9 en s ... je reste sans solutions. Bref je cherche mais surement dans la mauvaise direction ....
Sans trop de calculs, j'ai montré que $a=\dfrac{s(2s^2+3s+3)}{3s^2+3s-1}$.
Essaie de retrouver ce résultat.
D'abord oui désolé :
Q[j]:Q = 2 ; Q[a,j]:Q[j] <= Q[a]:Q <= 3
Donc Q[a,j]:Q <= 2*3 (6)
Ensuite oui effectivement si je pars de ta formule gai requin je retombe bien sur a. Mais alors une question se pose, comment es-tu arrivé à cette formule ? Elle me semble arrivée directement de l'espace ... je ne vois vraiment pas comment tu as pu la trouver.
Merci en tout cas pour ton aide précieuse.
je vois bien que (s-a)^3=1 ou que (s-a)^2+(s-a)+1=0
Mais lorsque je développe (s-a)^3=1 par exemple
je tombe sur un polynôme de degré 2 en a du genre :
3sa^2-a(1+s^2)+s^3=0
Je me suis lancé dans un calcul de discriminant
Delta = -3s^4+6s^2+1
mais je n'ai pas réussi en développant ce delta à trouver un carré ...
bref je pense qu'il me manque quelque chose ou que je ne vais pas dans la bonne direction ....
merci à toi aussi pour ton aide.
Une autre façon de voir: le degré de $\Q(s)$ est 2,3 ou 6. J'ai envie de dire que si ce degré était 2 on aurait $\Q(s)=\Q(j)$, si c'était 3 on aurait $\Q(s)=\Q(aj^k)$....en bricolant un peu on aura sans doute des contradictions.
A+
F.
$\bullet\:\:$ On peut chercher $P,Q \in \Q[X]$ tels que: $\:\: P(X)-(X-\mathrm j)Q(X) = (X-\mathrm j)^3-(X-\mathrm j)+1,\:$ car dans ces conditions, une évaluation en $s$ donne: $\:a=\dfrac{P(s)}{Q(s)}.\quad$ Or,$\:(X-\mathrm j)^3-(X-\mathrm j)+1= X^3-4X-\mathrm j(3X^2+3X-1).\:$ Il suffit alors de prendre:
$$Q(X)=-3X^2-3X+1,\quad P(X)=X^3-4X+XQ(X)=-2X^3-3X^2-3X,$$
et on retrouve bien l'expression de $a$ fournie par Gai Requin.
$\bullet \:\:$ Si tu juges intéressant ou divertissant d'exhiber un $P \in \Q[X]$ tel que $a = P(s)$, alors la procédure suivante est toujours possible:
Notons: $\: u=\:^t(1,s,s^2,s^3,s^4,s^5),\quad v =\:^t(1,a,a^2, \mathrm j ,\:\mathrm ja,\: \mathrm ja^2).$
A l'aide des relations $a^3=a-1, \:\: \mathrm j ^2 =-\mathrm j-1,\:\:$ tu peux trouver $A \in \mathcal {M}_6(\Z) $ telle que :$\:u =Av.$
Avec un logiciel pour le calcul de $A^{-1}$ et la relation $\quad v= A^{-1}u,\quad$ tu récupères ainsi $P \in \Q[X]$ tel que $\:\:a = P(s).\:\:$
On obtient: $\quad \boxed{ 85a = -24s^5-69s^4-98s^3-129s^2-120s +63.}$
Remarque: le polynôme minimal de $s$ est: $\:\:X^6+3X^5+4X^4+5X^3+7X^2-2X+1$
Merci beaucoup à tous. j'ai enfin compris.
Je reprends tous les calculs.
merci encore.