Transformation d'une matrice de corrélation

Désolé pour le temps de réponse, ça marche en effet, je vais pouvoir arrêter de chercher à prouver un résultat qui n'est pas vrai, merci beaucoup !

Pour situer un peu le contexte, je partais d'un produit $\Gamma\Sigma\Gamma^t$ qui correspondait à la variance d'un vecteur gaussien et ma question était de savoir s'il y avait des contraintes sur $\Sigma$ (elle même matrice de variance d'un autre vecteur gaussien ($z\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),\ y=\Gamma z,\ var(y)=\Gamma\Sigma\Gamma^t$)) qui faisaient que les éléments de ce produit étaient identifiables.

Sans contrainte il ne le sont pas puisqu'on peut introduire une matrice $A$ inversible de cette façon :
$$
\underbrace{\Gamma A^{-1}}_{\tilde{\Gamma}}\underbrace{A\Sigma A^t}_{\tilde{\Sigma}}\underbrace{A^{-t}\Gamma^t}_{= \tilde{\Gamma}^t}.
$$ Je cherchais donc à voir s'il y avait un sous-ensemble de $\mathcal{S}_q^{++}$ tel que la fonction :
$$
\begin{array}{cccl} F: & \mathcal{M}_{pq}\times \mathcal{S}_q^{++}&\longrightarrow& \mathcal{M}_q \\
& (\Gamma,\Sigma)&\longmapsto& \Gamma\Sigma\Gamma^t
\end{array}\hspace{1cm}\text{était injective}.
$$ J'espérais que ce sous-ensemble était les matrices symétriques définies positives avec des $1$ sur la diagonale (ie les matrices de corrélation), mais ce n'est manifestement pas le cas...