Décomposition de Hodge

Bonjour à tous

Soit $ X $ une variété algébrique complexe projective et lisse, de dimension complexe $ n $.
Il existe alors la décomposition de Hodge suivante :
$$ H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) = \displaystyle \bigoplus_{ p + q = 2k } H^{p,q} (X) .
$$ Puisque $ X $ est une variété complexe, alors $ X $ a une structure de variété différentielle réelle de dimension réelle $ 2n $.
Ma question est la suivante,
Puisque $ X $ a une structure de variété différentielle réelle, est ce que, $$ H^{2k} (X , \mathbb{C} ) = H_{ \mathrm{dR} }^{2k} ( X , \mathbb{R} ) \otimes \mathbb{C} \qquad ?
$$ - $ H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ est l'espace qui figure dans la formule de décomposition de Hodge.
- $ H_{ \mathrm{dR} }^{2k} ( X , \mathbb{R} ) $ est la cohomologie de deRham réelle telle que tout élément de cet espace est une combinaison linéaire de formes différentielles réelles pour le système de coordonnées $ ( x_1 , y_1 , \dots , x_n , y_n ) $, à coefficients réelles.

Merci d'avance.