Sous-espaces vectoriels
Réponses
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Si tu commences à faire un sujet pour chaque question d'un qcm on a encore franchi une étape.
Si l'affirmation que tu as cochée est vraie il y en a automatiquement une autre qui est vraie. -
Tu dis que $\sin \notin F$ mais que $F = Vect(\sin,\cos)$.
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Bah non il y avait 5 questions au QCM c'est la seule où j'ai faux.
Soit $f \in F$ alors $f(x)= a \cos(x)+ b \cos(x+1)+c \cos(x+2)$ avec $(a,b,c) \in \R^3$.
Or $\cos(x+1)=\cos(x) \cos(1)- \sin(x) \sin(1)$ et $\cos(x+2)=\cos(x) \cos(2)- \sin(x) \sin(2)$
Donc $\boxed{f(x)= \cos(x) (a+ b \cos(1)+ c \cos(2)) + \sin(x) (-b \sin(1)-c \sin(2))}$
La fonction $x \mapsto \sin(x)$ appartient à $F$, il suffit de prendre $a=0$, $b=- \cos(2)$ et $c=\cos(1)$ -
Par l'absurde si $f(x)=\sin(2x)$ appartient à $F$ alors $f(x)=a \cos(x)+b \sin(x)$
Pour $x=0$, on trouve $a=0$ et pour $x=\pi /2$ on trouve $b=0$ ce qui donne $\sin(2x)=0$ ce qui est absurde. -
Ce n'était pas une méthode, je ne t'ai pas donné la réponse, ça tu l'as fait toi-même. J'ai juste soulevé l'incohérence.
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Question pour Os : la famille $(f_0,f_1,f_2)$ est-elle libre ?
Donner deux preuves : une sans aucun calcul, une autre pour des élèves de Terminale. -
J'allais justement lui poser cette question... Amicalement, z
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Soient $(a,b,c) \in \R^3$ tels que $a \cos (x)+ b \cos (x+1)+ c \cos (x+2)=0$
Montrons que $a=b=c=0$.
Je ne vois pas comment faire simplement. -
Essaie déjà de trouver une démonstration valide. rakam a formulé sa question sans t'en donner la réponse (c'est un "est-ce que" et pas un "montrer que"). Donc essaie déjà de répondre à la question de n'importe quelle façon : est-ce qu'elle est libre, ou non ?
Une fois que tu auras la réponse, tu pourras chercher si tu peux trouver un argument sans calcul, et un argument de niveau lycée (pour le niveau lycée, remarque que le calcul ne t'a pas été proscrit). -
Je ne trouve aucune argument, je pense qu'elle n'est pas libre mais je n'arrive pas à le montrer.
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@OShine pour trouver un argument sans calcul je te suggère te regarder à nouveau les bonnes réponses de ton QCM ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2275322,2275322#msg-2275322
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Si tu arrives à voir ce que raoul.S essaie de te faire voir, tant mieux.
Sinon, il faut que tu comprennes ceci : des fois, même quand le truc est simple, on ne voit pas. On a la tête dans le guidon, ou bien on a une lacune... peu importe. Commence à chercher, à bidouiller des choses, tu ne répondras peut-être pas à la question exacte ni de façon élégante, mais peut-être que ça te fera voir un truc. Bien que je te conseille vivement de passer un peu de temps à comprendre l'indication de raoul.S, tu peux aussi essayer avec l'approche que tu as amorcée ici. C'est nettement plus long et moins joli, mais on peut trouver 2-3 choses. A condition, bien sûr, de voir que tu as oublié un quantificateur dans le message en question... -
Merci Raoul.S.
Comme $F=Vect( \sin, \cos)$ la famille $(f_0,f_1,f_2)$ est libre.
Soient $(a,b) \in \R^2$.
Supposons que $\forall x \in \R \ a \cos (x)+ b \sin(x)=0$ alors en choisissant $x=0$ puis $x= \pi /2$ on trouve $a=b=0$.
Méthode $2$ :
Par l'absurde, si la famille $(\cos,\sin)$ est liée, alors les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont proportionnelles ce qui est absurde. -
J'ai du mal à suivre ton raisonnement.
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OShine, la pause ! Prends-la ! Ta vie est en danger !
Tu finiras comme les intellectuels des romans de Lovecraft qui deviennent fous à force de lire des textes anciens attirant l'attention de dieux maléfiques en tous genres à force de s'enliser dans un monde de découvertes qu'ils n'auraient jamais dû faire.
Sauf que tu deviens fou à force d'essayer de montrer qu'une boule ouverte est ouverte, à mélanger cardinal et dimension, et à chercher la liberté d'une famille de trois vecteurs à la con dans un espace de dimension deux après avoir étudié toute une théorie de la réduction des endomorphismes. Je ne sais pas quelles forces occultes tu libéreras, mais elles auront fière allure. -
Je ne comprends rien :-(
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Ne me dis pas que tu es en train de chercher dans quel chapitre de ton livre se trouve dont je parle...
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@OShine une question pour "mesurer" ta compréhension de l'algèbre linéaire et pour t'aider à répondre à la question de rakam:
suppose que tu as un espace vectoriel $E$ et une famille de $n$ vecteurs $(e_1,...,e_n)$ qui est génératrice (j'espère que tu te souviens de ce qu'est une famille génératrice). Est-ce qu'il est possible de trouver dans $E$ une famille libre de $m$ vecteurs avec $m>n$ ?
Réponses possibles :
1) oui toujours
2) non jamais
3) ça dépend de $E$ et de la famille génératrice $(e_1,...,e_n)$. -
Réponse 3.
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Pourquoi ça dépend ?
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Non dans le cours de MPSI il y a un résultat qui dit que dans un espace de dimension n toute famille de n+1 elements ou plus est liée.
J'ai parlé trop vite. Mais ça semble évident après réflexion.
Si on ajoute un vecteur à une famille génératrice alors ce vecteur sera combinaison linéaire des autres et la nouvelle famille sera donc liée car on aura une combinaison linéaire nulle avec des coeffixients non tous nuls. -
Bonsoir.
Sinon, une méthode sûre pour trouver la bonne réponse à chaque question par un travail précis et rigoureux est de tester toutes les possibilités de réponse.
Ça marche à tous les coups en un temps fini.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Alors c'est quelle réponse, maintenant, la bonne ?
Et est-ce que tu vois le rapport entre cette question et celle de rakam ? -
Réponse 2).
Oui donc la famille $(f_0,f_1,f_2)$ n'est pas libre car c'est une sur famille de la famille génératrice $(\cos,\sin)$.
Par contre je ne vois pas quelle est la méthode lycée :-S -
N’importe quoi.
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Sur-famille ?
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Franchement je n'y comprends rien.
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Bonsoir
Oshine, tu as dit que $F$ est engendrée par $cos$ et $sin$ donc toute famille libre à un nombre de vecteurs inférieur ou égal à 2.
Imagions que $(f_{0},f_{1},f_{2})$ soit une famille libre de vecteurs ? -
Je présente les choses un poil autrement, mais c'est vraiment juste pour appuyer ce que disent les autres.
Nous savons que $F = Vect(\cos,\sin)$ et que $F=Vect(f_0,f_1,f_2)$. Quelle est la dimension maximale possible pour $F$ ? -
Tu disais qu’il ne fallait pas lui induire la réponse HT, c’est un peu loupé quand même...
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Je ne suis pas encore convaincu que ce soit loupé, justement.
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Au cas où il s’en tire, ce qui serait une bonne chose, je lui propose de faire la preuve avec de simples calculs sans utiliser aucune formule de trigo.
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Je reprends. Montrons le résultat énoncé par Raoul.S
.
Soit $n \in \N^{*}$ et $G=(g_i)_{i \in [|1,n|]}$ une famille de $n$ éléments de $E$.
Toute famille de $(x_i)_{i \in [|0,n|]}$ de $n+1$ éléments de $Vect(G)$ est liée.
Démonstration :
Montrons par récurrence la propriété $H_n$.
Au rang $n=1$.
Soit $g_1 \in E$ et $x_0,x_1 \in Vect(g_1)$. Montrons que $(x_0,x_1)$ est liée.
D'après l'hypothèse, il existe $(a_0,a_1) \in \K^2$ tels que $x_0= a_0 g_1$ et $x_1 =a_1 g_1$
Donc $(x_0,x_1)=( a_0 g_1,a_1 g_1)$
Si $a_0=0$ alors $(x_0,x_1)$ est liée.
Si $a_0 \ne 0$ alors $a_0 x_1 -a_1 x_0 =0 $ comme $a_0 \ne 0$, la famille $(x_0,x_1)$ est liée.
Hérédité :
Soit $n \geq 2$ tel que $H_{n-1}$ soit vraie. Montrons $H_n$.
Soit donc $G=(g_1, \cdots, g_n)$ une famille d'éléments de $E$ et $(x_0, \cdots, x_n)$ une famille d'éléments de $Vect(G)$.
Pour tout $k \in [|0,n|]$ il existe $\alpha_k \in \K$ et $z_k \in Vect(g_1, \cdots, g_{n-1})$ tel que $x_k = z_k + \alpha_k g_n$- Si tous les $\alpha_k$ sont nuls alors la famille $(x_1, \cdots, x_n)$ est une famille de $n$ combinaisons linéaires de $(g_1, \cdots, g_{n-1})$, elle est donc liée d'après $H_{n-1}$. Donc la sur-famille $(x_, \cdots, x_n)$ est liée.
- Si un des $\alpha_k$ est non nul alors supposons $\alpha_0 \ne 0$.
Posons $y_k =x_k - u x_0$ avec $u \in \K$. Alors $y_k =(z_k +\alpha_k g_n)-u(z_0+ \alpha_0)g_n= z_k +(\alpha_k -u \alpha_0)g_n-u z_0$
Comment on veut $ (\alpha_k -u \alpha_0)g_n=0$ il suffit de prendre $u= \dfrac{ \alpha_k}{\alpha_0}$
Et donc $\boxed{\forall k \in [|1,n|] \ y_k=z_k - \dfrac{ \alpha_k}{\alpha_0} z_0}$
Par suite $(y_1, \cdots, y_n)$ est une famille de vecteurs combinaisons linéaires de $g_1, \cdots, g_{n-1}$, d'après $H_{n-1}$ la famille est liée.
Il existe donc des scalaires $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ non tous nuls tels que $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k y_k=0}$
On a alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k x_k=0$ en posant $\lambda_0 = - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{ \lambda_k \alpha_k}{\alpha_0}$
Puisqu'au moins un des $n$ derniers éléments de la famille $(\lambda_k)_{0 \leq k \leq n}$ est non nul, la famille $(x_k)_{0 \leq k \leq n}$ est
liée ce qui prouve $H_n$ et termine la récurrence. -
Comme $F=Vect( \sin, \cos)=Vect(f_0,f_1,f_2)$ la famille $(f_0,f_1,f_2)$ est une famille de $2+1$ éléments de $Vect( \sin, \cos)$, elle est donc liée d'après le résultat démontré plus haut.
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Personne ne t'a demandé de recopier la preuve du lemme de Steinitz sur ton livre...
Ton dernier message est enfin correct sinon. -
Ca m'a permis de refaire la preuve comme ça je m'en rappellerai. Elle n'est pas simple.
Mais il y a une étape difficile dans la preuve, celle de penser à poser le bon $y_k$, j'ai passé longtemps à le comprendre. -
Il ne faut pas l'oublier ce résultat...
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Je vais raconter 2-3 choses sur les familles libres, familles génératrices, bases, dimension. Il faut que tu lises ça phrase par phrase, et pour chaque phrase, il faut que tu te demandes si c'est clair pour toi que c'est vrai. Si ça n'est pas clair, il faut nous le dire. C'est sûrement écrit dans tes bouquins, mais vu que tu dis les connaitre par coeur (ce qui est douteux, vu ta mémoire), je vais partir du principe que tes bouquins ne sont pas bons. Tu ne nous as jamais dit quels livres tu utilises, je crois.
Soit $E$ un espace vectoriel.
Ce que tu sais sûrement, c'est que une "base" de $E$, c'est une famille libre et génératrice. Normalement, on démontre que toutes les bases d'un espace vectoriel ont même cardinal, et on appelle ce cardinal la "dimension" de $E$. Mais c'est un peu plus détaillé que ça :
1) Toute famille de $E$ peut être épurée en une famille libre (on enlève un par un les vecteurs qui s'écrivent comme une combinaison linéaire des autres)
2) toute famille de $E$ peut être complétée en une famille génératrice de $E$ (on ajoute des vecteurs jusqu'à en avoir mis suffisamment qui soient linéairement indépendants pour engendrer tout $E$)
En très particulier, on peut montrer que toute famille libre peut être complétée en une famille génératrice de $E$, et que dès qu'on ajoute un vecteur à cette famille complétée-là, la famille devient liée. Donc il existe une taille maximale pour les familles libres. Parallèlement à ça, une famille génératrice peut être épurée jusqu'à ce qu'elle devienne libre, et on peut montrer que si on retire un vecteur de plus à cette famille épurée-là, la famille restante n'engendre plus tout $E$. Donc il existe une taille minimale pour les familles génératrices. La magie, c'est que ces deux tailles-là sont les mêmes, c'est la tailles des familles à la fois libres et génératrices de $E$. C'est pour ça que ces familles, et leur cardinal, sont si particulières.
Bon, dans un cours d'algèbre linéaire, il y a quand même un certain nombre de résultats pour tout établir proprement, ce n'est pas compliqué mais ce n'est pas gratuit. Si tes bouquins sont bons, ils devraient raconter le détail de ce que je viens de dire.
En tout cas, ces choses-là doivent être hyper claires si tu veux faire de l'algèbre linéaire. Quand on te définit $F = Vect(f_0,f_1,f_2)$, tu sais que $\{f_0,f_1,f_2\}$ est génératrice de $F$, donc la dimension de $F$ est au plus $3$. Quand tu affirmes que $F = Vect(\sin,\cos)$, ben, tu sors une famille génératrice de taille $2$, donc $\{f_0,f_1,f_2\}$ n'est pas génératrice minimale, donc elle ne peut pas être libre. Dans l'absolu, je n'ai pas montré que $\{\sin,\cos\}$ était libre, dans mon raisonnement interne à ce message je n'en sais rien, mais je n'en ai pas besoin pour dire que $\{f_0,f_1,f_2\}$ est liée, puisque les familles libres dans $F$ sont de cardinal au plus $2$ (puisque les familles libres maximales sont génératrices et qu'on a une famille génératrice de cardinal $2$). -
Oui c'est clair mais j'avais oublié ce résultat
Les résultats qui étaient gravés dans ma mémoire était :
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
Théorème de la base incomplète. -
Si tu ne retiens que ça, c'est sûr que tu vas avoir du mal à travailler l'algèbre linéaire. Il faut retenir tous ces résultats et en avoir une compréhension "géométrique".
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Mais on n'est normalement pas aussi dépendant de sa mémoire en maths ! Apprendre tout comme un catalogue de petits résultats sans différencier les choses fondamentales des détails, ne pas comprendre ce qui est intuitif et ce qui ne l'est pas, ne pas savoir retrouver des résultats en faisant un petit raisonnement ou dessin dans sa tête (pas forcément une preuve hein), c'est très bizarre comme façon de faire des maths.
Surtout, j'ai l'impression qu'aucun fait ne te marque en maths. J'ai toujours eu l'impression que ceux qui sont dans ce cas n'aimaient pas les maths (et pourtant il y en a dans le supérieur). Par exemple, je pense que la plupart des membres du forum n'ont jamais appris par cœur la somme des inverses des carrés d'entiers, simplement parce que ce pi qui sort de nulle part marque les esprits. Connais-tu cette somme par cœur sans tricher ?
De la même façon, un cours de maths est rempli de résultats marquants, soit parce qu'ils sont surprenants, puissants, utiles, contre-intuitifs...
Là tu as un résultat extrêmement utile et intuitif à la fois. Je ne comprends pas qu'on ne le retienne pas juste à la première lecture si on prétend aimer les maths. Et j'ai du mal à croire que tu n'aies jamais utilisé ce résultat en exercice ou que tu ne l'aies jamais vu dans d'autres preuves (je sais que c'est faux d'ailleurs).
Les maths rejettent parfois leurs prétendants les plus passionnés. Mais ce qui est certain, c'est qu'elles ne s'attachent jamais à qui les déteste ou les malmène.
Va donc faire ta pause, tu ne peux pas continuer à être de moins en moins performant et de plus en plus buté et malheureux comme ça indéfiniment.
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