Mini-question sur la réduction

Bonjour

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$.
Je sais que si $x\in E$ est un vecteur propre de $u$, alors il existe une unique valeur propre $\lambda\in\K$ de $u$ telle que $u(x)=\lambda x$. Cela vient de la "pseudo-intégrité" d'un espace vectoriel : $\forall (\alpha,t)\in\K\times E,\quad (\alpha t=0_E)\iff (\alpha=0_{\K}\text{ ou } t=0_E)$.

Maintenant, étant donnée une valeur propre $\lambda\in\K$ de $u$, il existe un vecteur propre $x\in E$ de $u$ tel que $u(x)=\lambda x$. Toutefois, on perd l'unicité en général (c'est très facile de trouver un contre-exemple), c'est mentionné dans tous les cours de réduction. Ma question est la suivante : auriez-vous une condition nécessaire et suffisante pour quand même avoir l'unicité, i.e. pour que l'ensemble $V_{\lambda}:=\{t\in E\mid t\neq 0_E\text{ et } u(t)=\lambda t\}$ soit réduit à $\{x\}$ ?

J'ai trouvé que c'était le cas si $(\lvert\K\rvert=2$ et $\lambda\neq 0_{\K})$ mais c'est sûrement trop fort.