Somme de sous-espaces

OShine · July 2021

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire le deuxième cas avec les polynômes. Je n'arrive pas à savoir si $E=F+G$ où si $E \cap G=\{0\}$. 124906

raoul.S · July 2021

Si tu ne connais pas la division euclidienne des polynômes ce n'est pas facile.

Riemann_lapins_cretins · July 2021

Prends un exemple avec n=3, même sans division euclidienne pour court-circuiter la question c'est facile mais tu n'essayes rien.

OShine · July 2021

D'accord merci.

Soit $Q \in G \cap F$ alors $Q= P P_0= R$ avec $\deg(R) <n$ et $P \in \K[X]$

Donc $\deg(Q)= \deg(P)+ n= \deg(R)$

Après je ne vois pas comment montrer que $Q=0$.

Pour le $E=F+G$. On part de $R \in E$ et on cherche $(U,V) \in F \times G$ tels que $R(X)=U(X)+V(X)=P P_0(X)+V(X)$

Comment $\deg(V) < \deg( PP_0)$ d'après le théorème de la division euclidienne de polynôme, il existe un unique couple $(P,V)$ de polynômes vérifiant l'égalité.

Homo Topi · July 2021

Tu as écrit $E \cap F$ et $E \cap G$, je pense que ce n'est aucune des deux-là qui t'intéresse.

OShine · July 2021

Erreur de frappe.

Riemann_lapins_cretins · July 2021

Est-ce que l'hypothèse sur le degré de leur polynôme était nécessaire, au passage ?

OShine · July 2021

De toute façon je ne sais pas ce que je fais. La deuxième proposition est vraie ou fausse ?

Riemann_lapins_cretins · July 2021

Tu ne caches même plus ton intention de ne pas vraiment progresser ou comprendre. Tu veux juste valider des exercices en te disant que ça te fait grandir en mathématiques, un peu comme le farm intensif dans les MMO. Et on continue à dire que ça ne sert à rien, et que les noobs de la zone de tuto peuvent te pvp sans problème. Je ne parle même pas des raids (comme l'agrég pour les hauts lvl). Et tu continues à mal t'y prendre, à persister dans ton malheur, à rendre ta vie morose, terne et douloureuse, plutôt que de t'épanouir en maths et dans le reste.

OShine · July 2021

Bah j'ai réfléchi 30 min sur cette question je n'ai pas trouvé. Ça m'embrouille.

Riemann_lapins_cretins · July 2021

Je t'ai dit de prendre n=3 et un polynôme au pif pour comprendre.

OShine · July 2021

Pour $n=3$.
$P(X)=X^3$

Soit le polynôme $1+X^3$. On a bien $E=F+G$.

Mais je n'arrive pas à montrer que $F \cap G =\{0 \}$

Robomo · July 2021

@OShine

Dans l'exemple que tu as choisi, saurais-tu décomposer le polynôme $X^4+3X^3+X+1$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ ?

Pour $F \cap G = \{0\}$, pense aux degrés des polynômes.

Gon · July 2021

Bonsoir, la division euclidienne donne déjà l'unicité et l'existence donc tu n'as plus rien à faire normalement

OShine · July 2021

@Gon

Bien vu en effet.

@Robomo

$X^4+3X^3+X+1=X \times (X^3+3X^2)+ X+1$ on a donc $P_0 = X^3+3X^2$

Soit $Q \in F \cap G$. Alors $Q(X)= P_0 (X) P(X) =R(X)$ avec $\deg( R) <n$

Donc $\deg(Q)=n+ \deg P(X) <n$

L'unique possibilité est $P(X)=0$ pour satisfaire l'inégalité, on en déduit alors $Q(X)=0$ et donc $\boxed{F \cap G= \{0\}}$

Robomo · July 2021

Pour la décomposition, il me semble que tu avais pris $P_0(X) = X^3$. Il est fixé donc tu ne peux pas prendre $P_0(X)=X^3+3X^2$.

SERGE_S · July 2021

@ OShine : E est somme directe de F et G si et seulement si tout vecteur de E s'écrit de manière UNIQUE comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G. C'est la définition de somme directe, on dit aussi que F et G sont des sous-espaces linéairement indépendents.

Si tu réussis à faire le lien avec la division euclidienne de polynômes le tour est joué.

OShine · July 2021

@Serge S
En effet merci.

@Robomo
Oui c'est $X^4+3X^3+X+1=X^3(X+3)+X+1$

Somme de sous-espaces

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