Idéaux sommes d'idéaux principaux

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour,

Par théorème, les idéaux premiers de l'anneau des entiers d'un corps de nombres sont la somme d'au plus deux idéaux principaux (d'un seul et dans ce cas, l'idéal premier est principal, ou de deux et il ne l'est pas).
Tous les idéaux que j'ai rencontrés jusqu'à présent le vérifient aussi (ils sont sommes d'au plus deux idéaux principaux), i.e. tout idéal d'un anneau d'entiers étant un produit d'idéaux premiers, il semble toujours se réduire ainsi.
Donc ma question est : est-ce vrai, et si oui, comment cela se montre-t-il ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    tu demandes si tout idéal est somme de deux idéaux principaux ?

    Si oui, absolument pas : dans $k[x_1,...,x_n]$, tu peux prendre $(x_1,...,x_n)$ (qui a même le bon goût d'être premier si $k$ est intègre), qui n'est pas engendré par moins de $n$ éléments (si $k\neq 0$).
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci Maxtimax, mais je demande si dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres, tout idéal est somme d'au plus deux idéaux principaux. Ce n'est pas dans n'importe quel anneau !

    C'est un anneau de Dedekind, et je ne sais pas si ton exemple en est un.
  • gai requin
    gai requin
    Bonjour Julia,

    La totale [ici] !
  • noix de totos
    noix de totos
    J'en ajoute une couche.

    (i) On peut exclure l'idéal nul, généré par un seul élément. Soit $\mathfrak{a}$ un idéal fractionnaire de $K$. Si $\mathfrak{a}$ n'est pas un idéal entier, il existe $d \in K$ tel que $d \mathfrak{a} \in \mathcal{O}_K$, et comme $\mathfrak{a}$ et $d\mathfrak{a}$ ont le même nombre de générateurs, on peut supposer que $\mathfrak{a}$ est un idéal entier non nul de $K$.

    (ii) Soit alors $\beta \in \mathfrak{a}$, $\beta \neq 0$ et on pose $\mathfrak{b} = (\beta)$ . Il existe $\alpha \in \mathfrak{a}$ tels que les idéaux $(\alpha) \mathfrak{a}^{-1}$ et $\mathfrak{b}$ soient premiers entre eux. Comme $\alpha, \beta \in \mathfrak{a}$, on a $\mathfrak{a} \mid (\alpha, \beta)$. Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier diviseur de $(\alpha, \beta)$ et on note $e$ sa valuation $\mathfrak{p}$-adique. Puisque $(\alpha) \mathfrak{a}^{-1}$ et $\mathfrak{b}$ sont premiers entre eux, on a $\mathfrak{p}^e \nmid (\alpha)\mathfrak{a}^{-1}$, mais puisque $\mathfrak{p}^e \mid (\alpha) = (\alpha) \mathfrak{a}^{-1} \mathfrak{a}$, on en déduit que $\mathfrak{p}^e \mid \mathfrak{a}$, et donc $(\alpha,\beta) \mid \mathfrak{a}$.

    (iii) Conclusion : $\mathfrak{a} = (\alpha,\beta) = \alpha \mathcal{O}_K + \beta \mathcal{O}_K$.
  • christophe c
    christophe c
    C'est beaucoup plus fort:

    Julia annonce $\forall J,\ \exists (x,y) \in J^2,\ J=(x,y).$

    Tu (@NdT) prouves $\forall J,\ \forall x\in J,\ \exists y\in J,\ J=(x,y).$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • noix de totos
    noix de totos
    Oui, mais le point que tu soulignes n'apporte pas grand-chose en pratique (sauf erreur).
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour cette remarque, ça va me donner une question à mettre dans mon fil de questions "il est facile de". Je vais demander si tout anneau (resp noethérien) vérifiant le faible vérifie le fort :-D

    Bon, mais vue l'heure, je poste ça demain.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Voilà, j'ai reporté la question :

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2277416,page=28#msg-2277416
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci à vous.

    noix de totos, merci pour ta démonstration, que j'ai eu un peu de mal à comprendre, mais ça y est.
    Le (i) ne me sert pas, je me pose la question uniquement pour un idéal ordinaire (entier).
    Pour : il existe $\alpha \in \frak{a}$ tel que $\alpha \frak{a}^{-1}$ et $(\beta)$ soient premiers entre eux, est-ce que cela est justifié par le fait que l'anneau des entiers possède une infinité d'idéaux premiers ? je l'ai utilisé pour le démontrer, mais aurais-tu une autre démonstration ?

    Par contre, quelque chose dans ton résultat me parait douteux, je m'explique.
    En posant $(\alpha)=\frak{a} p_1 \cdots p_r$ et $(\beta)=\frak{a} q_1 \cdots q_s$, avec les $p_i$ distincts des $q_j$ et ne divisant pas $\frak{a}$, on a bien $\alpha \frak{a}^{-1}$ et $(\beta)$ premiers entre eux, mais on aurait $\frak{a}=(\alpha, \beta)=\frak{a} (p_1 \cdots p_r + q_1 \cdots q_s)$, donc $p_1 \cdots p_r + q_1 \cdots q_s=(1)$, ce qui est faux en général. EDIT : non, c'est bon.
    En fait, ce qui me parait sujet à controverse dans ta démonstration, c'est à la fin :
    $p^e \not \mid \alpha \frak{a}^{-1}$ et $p^e \mid \alpha = \alpha \frak{a}^{-1} \frak{a} \Rightarrow p^e \mid \frak{a}$, car $p^e$ n'est pas un idéal premier.

    Merci de ton retour. Il me semble qu'il faut juste arranger un peu la fin pour que ta démo soit ok.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci gai requin pour ton lien. Donc mon hypothèse est vraie dans tout anneau de Dedekind, j'avais émis cette idée un peu au hasard.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Il suffit de dire : $(\beta)=\frak ac, (\alpha)=\frak ad$, alors $(\alpha)+(\beta)=(\alpha, \beta)=\frak a (c+d)=a$ car $\frak c$ et $\frak d$ sont premiers entre eux car $(\beta)=\frak ac $ et $\alpha \frak a^{-1}=d$ le sont.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ma démonstration de $\exists \alpha \in \frak a, \alpha a^{-1}$et $(\beta)$ premiers entre eux, ne tient pas.

    Quelqu'un aurait-il une démonstration ?
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Bon, cela revient à montrer qu'il existe un idéal $\frak{d}$ premier avec $\frak{b}$ tel que $\frak{ad}$ est principal, et c'est le lemme 3.23. du document de gai requin.
    (il y a une erreur de frappe dans la démo du lemme, c'est : $\forall \frak{p} \mid$ $I'$ (et pas $I$))

    gai requin, de quel cours ou livre est tiré ce chapitre ?
  • gai requin
    gai requin
    Beaucoup de choses pourraient t'intéresser sur la page de Sutherland du MIT, notamment ses Lecture Notes [ici].
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci beaucoup gai requin !
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