Permutations commutatives = support stable ?

Bonjour,

Si on se donne deux permutations $\sigma ,\tau \in \mathfrak{S}_n$ et si $I$ désigne le support de $\sigma$ est-il vrai que $\tau(I)=I$ implique la commutativité $\sigma \tau = \tau \sigma$ ?

C'est vrai si on prend $x \notin I$ ,donc il reste à considérer le cas $x \in I$ et je pense que les décompositions en cycles disjoints de $\tau$ et $\sigma$ doivent jouer un rôle pour se ramener à des cycles mais j'ai beau tourner le problème en tout sens, il me manque le déclic... si l'énoncé est valide.

Merci pour vos lumières !