Idéaux comaximaux

Marco 225
Marco 225
dans Algèbre
Salut les amis je réfléchis sur un problème.

Soient I et J deux idéaux comaximaux dans A, c'est-à-dire leur somme vaut A (I+J=A), où A est un anneau commutatif unitaire.
J'essaie de montrer que si I+J=A alors j'ai l’équivalence avec le fait que la somme de leur radicaux vaut aussi A c'est-a-dire que ( Rad(I)+Rad(J)=A)

Si vous avez des propositions ou des indications ça ne sera pas de refus.

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    L'implication de gauche à droite est évidente, il s'agit de montrer celle de droite à gauche.

    J'ai une piste qui semble marcher :

    1) se rappeler que $\sqrt{I}+\sqrt{J}\subset \sqrt{I+J}$, donc $ \sqrt{I+J}=A$

    2) si $I+J\neq A$ alors il existe un idéal maximal $I_M$ contenant $I+J$, donc $A=\sqrt{I+J}=\sqrt{I_M}$

    3) montrer que ceci est impossible.


    Edit : voir prochain message.
  • raoul.S
    raoul.S
    Hum plus simple 8-)

    se rappeler que $\sqrt{I}+\sqrt{J}\subset \sqrt{I+J}$, donc $ \sqrt{I+J}=A$, donc $1\in I+J$ donc $I+J=A$.
  • Marco 225
    Marco 225
    Ce qui rend la démonstration plus claire
    Merci
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