Idéaux comaximaux
Salut les amis je réfléchis sur un problème.
Soient I et J deux idéaux comaximaux dans A, c'est-à-dire leur somme vaut A (I+J=A), où A est un anneau commutatif unitaire.
J'essaie de montrer que si I+J=A alors j'ai l’équivalence avec le fait que la somme de leur radicaux vaut aussi A c'est-a-dire que ( Rad(I)+Rad(J)=A)
Si vous avez des propositions ou des indications ça ne sera pas de refus.
Soient I et J deux idéaux comaximaux dans A, c'est-à-dire leur somme vaut A (I+J=A), où A est un anneau commutatif unitaire.
J'essaie de montrer que si I+J=A alors j'ai l’équivalence avec le fait que la somme de leur radicaux vaut aussi A c'est-a-dire que ( Rad(I)+Rad(J)=A)
Si vous avez des propositions ou des indications ça ne sera pas de refus.
Réponses
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L'implication de gauche à droite est évidente, il s'agit de montrer celle de droite à gauche.
J'ai une piste qui semble marcher :
1) se rappeler que $\sqrt{I}+\sqrt{J}\subset \sqrt{I+J}$, donc $ \sqrt{I+J}=A$
2) si $I+J\neq A$ alors il existe un idéal maximal $I_M$ contenant $I+J$, donc $A=\sqrt{I+J}=\sqrt{I_M}$
3) montrer que ceci est impossible.
Edit : voir prochain message. -
Hum plus simple 8-)
se rappeler que $\sqrt{I}+\sqrt{J}\subset \sqrt{I+J}$, donc $ \sqrt{I+J}=A$, donc $1\in I+J$ donc $I+J=A$. -
Ce qui rend la démonstration plus claire
Merci
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