Le groupe multiplicatif d'un corps ?
Réponses
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As-tu une définition de corps dont la deuxième loi ne serait pas commutative ?
Sinon, parfois on appelle cela un « corps gauche ».
Des discussions ont eu lieu sur le thème « un corps est commutatif par définition ».
Sauf erreur de ma part.
Pour répondre à ta question, je ne connais que le « corps des quaternions » qui pourrait servir de base de recherche.
Édit : wiki dit mieux les choses que moi Corps (mathématiques)
[Correction du lien. AD] -
Pour avoir l'air cultivé : le théorème de Wedderburn, qui à mon sens devrait avoir sa place dans tout cours sur les corps, les extensions de corps ou la théorie de Galois, assure que tout corps fini est commutatif. Donc un corps NON commutatif est forcément infini, donc de caractéristique $0$ et "construit sur $\Q$". Pour le reste, puisque $\C$ est encore commutatif (et qu'un corps intermédiaire entre $\Q$ et $\C$ est forcément encore commutatif), je pense qu'on peut dire que le corps des quaternions est un candidat à être un "plus petit corps non commutatif". Et en tout cas, c'est le premier qui a été découvert, et c'est le plus simple. Les extensions de corps standard qu'on apprend à faire en cours ne donneront que des corps commutatifs, donc, pour fabriquer un corps non commutatif qui ne contient pas celui des quaternions (ou une copie, à isomorphisme près, bien sûr), je ne sais pas trop.
Wikipédia me garantit que même les corps de nombres $p$-adiques $\Q_p$ sont tous commutatifs, et comme je ne les connais pas très bien, je ne saurai pas dire s'ils se prêtent à des extensions non commutatives.
Tout ça pour dire qu'on peut peut-être considérer que "presque tous" les corps sont commutatifs, et les corps non commutatifs font vraiment figure d'exception. Quand je pense "corps", je pense commutatif, sinon je précise "corps non commutatif". Mais ils sont rares. Donc ta question, lapurge, est certes pertinente, mais ne te bile pas à retenir qu'il faut faire gaffe au groupe multiplicatif d'un "corps". C'est commutatif dans tous les cas qu'on étudie, jusqu'à un niveau où l'on a assez de recul pour ne plus s'inquiéter de choses comme ça.
EDIT : correction d'une étourderie qui avait son importance. -
Homo Topi a écrit:Donc un corps NON commutatif est forcément infini,
Attention.donc de caractéristique $0$
Non, il existe des corps infinis de caractéristique non nulle, par exemple un corps de fractions rationnelles à coefficients dans un corps fini.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
HT : euh attention attention, "infini donc de caractéristique 0" ?
Il y a certainement plus petit (et plus simple) que les quaternions, à savoir les quaternions rationnels.
Pour construire "facilement" d'autres corps non commutatifs, on pourra utiliser le lemme de Schur sur des représentations rationnelles irréductibles, mais pas "absolument irréductibles" bien choisies (pour le coup en caractéristique $0$, car en caractéristique $p$ ce sera toujours commutatif, même si le corps commutatif de base est infini)
Bon, après, les corps gauches, ça ne court pas les rues non plus. Il y a un théorème qui dit que les seuls corps gauches qui sont des extensions de $\mathbb R$ de dimension finie sont $\mathbb{R,C,H}$.
On trouvera des exemples de caractéristique positive ici -
J'ai dérapé, et corrigé. Je ne suis pas le seul à avoir été étourdi : $\R$ et $\C$ ne sont pas des corps gauches Max !
En attendant, les quaternions rationnels, d'accord ça existe mais ça me paraît plus naturel de construire d'abord les quaternions tout court. Et les représentations rationnelles, c'est quelque chose d'assez poussé quand même. Je pense vraiment que "dans un cadre étudiant", on peut clairement se dire que "tout corps qu'on va rencontrer est commutatif". -
Un corps est en particulier un corps gauche ;-)
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C'est encore un truc qui dépend de la termonologie de chacun, ça (dès qu'on entre dans les anneaux, ça devient le bordel). Pour moi, "corps gauche" ça veut spécifiquement dire qu'on sait qu'il n'est pas commutatif. Pour d'autres, ça veut dire "on ne suppose rien". Un corps non commutatif qui est commutatif, c'est un peu débile, du coup ce que tu disais n'avait aucun sens pour moi. C'est plus clair maintenant en tout cas.
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Ha oui.
Moi j’avais cru que « corps gauche » signifiait exactement « corps non commutatif » (oxymore, donc, selon les terminologies). -
"corps non commutatif" est une terminologie amusante, puisqu'on peut effectivement avoir des corps non commutatifs commutatifs ! Il faut le lire comme un bloc à part entière
(ou bien, oublier les traditions et dire "algèbre/anneau à division": on sait tout de suite de quoi il en retourne, en tout cas, on n'a pas à l'apprendre 2 fois; et c'est bien plus clair) -
Maxtimax écrivait:
> ou bien, oublier les traditions et dire "algèbre/anneau à division":
Ben non, parler d'algèbre à division, c'est justement rester dans la tradition algébriste. Wedderburn n'a certainement jamais formulé son théorème comme "tout corps fini est commutatif".. Il parlait bien d'algèbres, pas de corps.
Quand Steinitz décrit la théorie axiomatique des corps, leur multiplication est bien commutative.
Réserver l'appellation "corps" aux cas où la multiplication est commutative est bien la tradition algébrique. Un corps gauche n'est pas un corps. -
De même, un chant militaire n'est pas un chant.
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Bonjour,
Tous les corps de nombres sont commutatifs. Donc les corps non commutatifs ne sont pas des corps de nombres (hé hé). Question : quels sont les exemples de corps commutatifs qui ne sont pas des corps de nombres, ni des quotients d'anneaux de nombres comme les corps finis (qui transmettent la commutativité) ? -
Qu'est-ce qu'un "corps de nombres" pour toi ?
Il y a plein de corps qui sont souvent appelés "corps de fonctions" et qui ne se rangent pas dans la catégorie "corps de nombres". -
Corps de nombres = extensions finies de $\mathbb Q$. Je viens de voir aussi les corps $p$-adiques, qui se rapportent aussi aux nombres.
As-tu un exemple de corps de fonctions ? Je crois que j'ai la flemme de chercher par moi-même un corps qui ne se rapporte pas d'une façon ou d'une autres aux nombres. -
Les fonctions holméromorphes.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
$\mathbb R$, $\mathbb C$ ne sont pas des extensions finies de $\mathbb Q$. Pas des corps de nombres, donc.
Si $K$ est un corps, $K(X)$ (le corps des fractions rationnelles), $K((X))$ (le corps des séries formelles) ne sont pas des corps de nombres. -
Je viens de voir que les corps de fonctions sont des extensions finies à $n$ variables d'un corps de base (qui lui-même est donc un corps de nombres, ou une extension, etc ...).
Les fonctions holomorphes sont définies sur $\mathbb C$ (= quotient de $\mathbb R[X]$ par un idéal), se rapportent aux nombres ($\mathbb R$ corps constitué de nombres, je comprends mieux la question de GaBuZoMeu, et j'élargis ainsi ma définition, d'où $\mathbb R[X]$ anneau commutatif, et le quotient est un corps commutatif).
GaBuZoMeu : j'élargis la définition à corps constitués de nombres (construits sur les entiers naturels, puis relatifs, puis rationnels, puis réels, et les complexes), où la commutativité du produit se transmet. -
A nicolas.patrois, ah oui méromorphes.
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GaBuZoMeu, $K(X)$ est un corps construit sur un corps de base $K$, qui lui-même se rapporte pour l'instant tôt ou tard à un corps constitué de nombres.
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Bon, ma question n'est pas intéressante, oubliez.
En fait, je me rends compte qu'on perd la commutativité dès qu'on commence à composer (les fonctions, d'où la multiplication des matrices). Mais cela n'a rien à voir avec les corps, c'est aussi vrai pour les anneaux. Seulement, l'inversibilité pour la composition est plus dure à obtenir que pour le produit (de nombres). D'où pas beaucoup de corps non commutatifs. -
Tiens, au fait, un exo : le groupe multiplicatif d'un corps peut-il être monogène infini (isomorphe à $(\mathbb Z, +)$) ?
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$\newcommand{\car}{\operatorname{car}}$@ Chaurien voici ma tentative.
$-~$Si $\car(K)=2$, soit $x$ un générateur de $ K^{\star}$ comme $ 1_{K}+x$ est non nul alors il existe un entier $n\geq 1$ tel que
$1_{K}+x=x^{n}$ alors $x $ serait algébrique sur $ \mathbb F_{2}$ donc d'ordre fini donc $K^{\star}$ ne peut pas être isomorphe à $ (\mathbb{Z},+)$.
$-~$Dans le cas où $\car(K)=p$, les choses marchent simplement.
$-~$Dans le cas $ \car(K)=0$, il existerait $ m\geq 1$ tel que $x^m=-1$ donc $ x^{2m}=1$ ce qui permet de conclure. -
On sait que le sous-corps premier d'un corps est isomorphe soit à $\mathbb Q$, soit à $F_p$.
Si $K^*$ est infini monogène (i.e. isomorphe à $(\mathbb Z, +)$), alors :
- si le sous-corps premier de $K$ est isomorphe à $\mathbb Q$, alors le groupe multiplicatif $K^*$ contiendrait un sous-groupe isomorphe à $\mathbb Q^*$, et il n'y a pas de sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$, qui est monogène, qui soit isomorphe à $\mathbb Q^*$, qui n'est pas monogène (je ne me souviens plus de la démonstration), donc impossible,
- si son sous-corps premier est isomorphe à $F_p$, impossible aussi car $(\mathbb Z,+)$ ne contient pas de sous-groupe cyclique.
Donc non à la question de Chaurien. -
Soit $K$ un corps commutatif tel qu'il existe un isomorphisme $f:(K^*,\times)\to (\mathbb Z,+)$.
On a $f(1)=f((-1)^2)=2f(-1)=0$ donc $f(-1)=0$ et $-1=1$ soit $\mathrm{car}(K)=2$.
Soit alors $\alpha=f^{-1}(1)$ de sorte que $K^*=\{\alpha^n\mid n\in\mathbb Z\}$.
On a $1+\alpha\in K^*$ donc $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb F_2$.
Mais $K^*\subset\mathbb F_2(\alpha)$ donc $K^*$ est fini : contradiction. -
J'admets ne jamais avoir compris grand-chose aux corps finis, mais je ne comprends clairement pas pourquoi $1+\alpha \in K^*:=\{\alpha^n \mid n \in \Z\}$ implique que $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{F}_2$. J'aimerais des sous-titres.
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$K^*=f^{-1}(\mathbb Z)=\{f^{-1}(n)\mid n \in \mathbb Z \} = \{\big(f^{-1}(1)\big)^n\mid n\in \mathbb Z \}$.
Oups, ce n'est pas ça ta question.
$1+\alpha \in K^* \Rightarrow \exists n \in \mathbb Z,\ 1+ \alpha =\alpha ^n$,
d'où $\alpha$ est racine d'un polynôme à coefficients dans $\mathbb{F_2}$, donc $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{F_2}$. -
Petite question à propos des quaternions. Pourquoi définit-on $\mathbb C$ à partir de choses que l'on connaît (anneau-quotient, ou bien $\mathbb R^2$ muni de lois, ou encore matrices), tandis que pour les quaternions, on s'autorise à décréter l'existence de 3 nombres $i, j, k$ tels que etc... sur lesquels on définit des lois ?
Je retire cette question : je crois qu'on peut définir les quaternions à partir des matrices. -
On peut aussi définir un quaternion comme un couple formé d'un scalaire réel et d'un vecteur d'un espace euclidien orienté de dimension 3, avec l'addition que tout le monde imagine et la multiplication
$$ (a, \vec u)\times(b,\vec v)= (ab-\vec u \cdot \vec v, a\vec v + b\vec u + \vec u\wedge\vec v)\;.$$Toute base orthonormée directe $(\vec i,\vec j,\vec k)$ de cet espace fournit alors un triplet $(\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k)$ qui va bien : $\mathbf i=(0,\vec i)$, etc. -
En effet, on peut définir les quaternions de plusieurs manières. Je trouve que la plus simple, c'est celle qui utilise les matrices de Pauli que j'ai signalées plus haut, puisque ce sont des matrices 2x2 (complexes). On peut aussi utiliser des matrices réelles 4x4, mais les calculs sont plus longs. Ou bien la définition rappelée par GBMZ, définition sur qui j'ai transpiré aux temps anciens où j'étais l'élève de Victor Lespinard au lycée du Parc. On ose espérer que ce sont les mêmes quaternions.
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La description géométrique des quaternions montre que les rotations de l'espace euclidien fournissent des automorphismes de l'algèbre des quaternions (et les isométries indirectes des antiautomorphismes).
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Références pour la question : « le groupe multiplicatif d'un corps peut-il être monogène infini » ? Énoncé n° 55, Bulletin de l'APMEP 306, décembre 1976, posé par André Warusfel ; solution de Daniel Ponasse, Bulletin de l'APMEP 316, décembre 1978.
Republié dans : Les 200 premiers problèmes de l'APMEP, réunis par Dominique Roux, Volume III, APMEP, 1994.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Je suis bête, je n'avais pas les yeux en face des trous quand j'ai demandé le truc sur $\mathbb{F}_2$.
Sans m'étaler sur ma vie privée, en ce moment c'est difficile alors si je raconte plus de bêtises que d'habitude, c'est normal. -
Julia Paule a écrit:GaBuZoMeu, $K(X)$ est un corps construit sur un corps de base $K$, qui lui-même se rapporte pour l'instant tôt ou tard à un corps constitué de nombres.
Comme tu l'as dit un peu après, tout corps admet un sous-corps premier. Si tu acceptes l'axiome du choix (et il vaut mieux quand on fait de la théorie des corps), tout corps admet un degré de transcendance sur son sous-corps premier $k$, et est donc une extension algébrique d'un corps de la forme $k(S)$, où $S$ est une base de transcendance de notre corps. Donc à ton sens, tous les corps sont construits "à partir de nombres". -
Pour Chaurien, tout sous-groupe fini du groupe des unités d'un corps est cyclique, donc non.
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HT a écrit:qui à mon sens devrait avoir sa place dans tout cours sur les corps, les extensions ....
Oui, mais n'oublions pas qu'il n'en existe actuellement aucune preuve vraiment satisfaisante. On ne sait pas "à quoi est dû" ce "prodige" en quelque sorte, même si on peut "le prouver irréfutablement".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour le dire de manière moins outrancière, je peux tenter une formulation précise:
il nous manque un énoncé $P$ du premier ordre de la théorie des anneau tel que:
1/ Q=>P soit TRIVIAL
2/ P=> l'anneau est commutatif soit "pas trop méchant à prouver"
où $Q$ est l'énoncé "pour tout $x$, il existe un entier naturel $n>1$ tel que $x^n=x$.
Le fait que $Q$ entraine la commutativité de l'anneau s'appelle "le théorème de Jacobson" (il se déduit hélas de Wedderburn sans nullement proposer dans ses preuves actuelles une étape qui ferait de Wedderburn un cas particulier à mettre en "corollaire")Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
RLC ta démonstration ne tient pas. Que sont les sous-groupes finis du groupe $ (\mathbb Z,+)$ ?
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Je n'en vois qu'un. En effet, le groupe des unités peut ne pas avoir de sous-groupe fini. Merci
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