Extension de corps
$\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}\newcommand{\Irr}{\operatorname{Irr}}$Bonjour à tous.
Je souhaite montrer ce résultat.
Soit $K$ un corps et $f(X) \in K[X]$ tel que $ \deg(f)=k>1$ et $ L$ une extension de $K$ telle que
$ [L:K]=n>1$ et $f$ est irréductible sur $K$ et $\pgcd(k,n)=1$
Montrer que $f(X)$ n'a pas de racine dans $L $.
Soit $\alpha$ une racine de $f$ je souhaite montrer que $ L(\alpha)\neq L.$
Comme $ [L(\alpha):L]\times[L:K]=[K(\alpha):K][K(\alpha):L]$,
comme $f$ est dans $ K[X]$ et irréductible on peut supposer qu'il est unitaire donc
$[K(\alpha):K]=k$.
On a donc $ n[L(\alpha):L]=k[K(\alpha): L]$ de la relation $ \pgcd(k,n)=1$
on a $ k\mid [L(\alpha):L]$ comme $f $ est supposé irréductible et unitaire alors $ f(X) \mid \Irr_{L}(\alpha,X)$
Alors $ f(X)=\Irr_{L}(\alpha,X)$, donc $ [L(\alpha):L]=k>1$ alors $ L(\alpha)\neq L$.
Ma question est de savoir s'il existait une preuve très courte.
Je souhaite montrer ce résultat.
Soit $K$ un corps et $f(X) \in K[X]$ tel que $ \deg(f)=k>1$ et $ L$ une extension de $K$ telle que
$ [L:K]=n>1$ et $f$ est irréductible sur $K$ et $\pgcd(k,n)=1$
Montrer que $f(X)$ n'a pas de racine dans $L $.
Soit $\alpha$ une racine de $f$ je souhaite montrer que $ L(\alpha)\neq L.$
Comme $ [L(\alpha):L]\times[L:K]=[K(\alpha):K][K(\alpha):L]$,
comme $f$ est dans $ K[X]$ et irréductible on peut supposer qu'il est unitaire donc
$[K(\alpha):K]=k$.
On a donc $ n[L(\alpha):L]=k[K(\alpha): L]$ de la relation $ \pgcd(k,n)=1$
on a $ k\mid [L(\alpha):L]$ comme $f $ est supposé irréductible et unitaire alors $ f(X) \mid \Irr_{L}(\alpha,X)$
Alors $ f(X)=\Irr_{L}(\alpha,X)$, donc $ [L(\alpha):L]=k>1$ alors $ L(\alpha)\neq L$.
Ma question est de savoir s'il existait une preuve très courte.
Réponses
-
Bonjour,
Il suffit de montrer que $K[X]/(f)$ ne s'envoie pas dans $L$. Que peux-tu dire de $K[X]/(f)$ ? -
J'en rajoute une couche : si $\alpha$ était dans $L$ alors on aurait la tour d'extensions $K\subset K(\alpha)\subset L$.
-
@GaBuZoMeu s'il existait un morphisme de $ \dfrac{K[X]}{(f)}$ dans $ L$ alors il existerait un sous corps de $L$ isomorphe $ \dfrac{K[X]}{(f)}$ donc $ k$ diviserait $n$ ce qui est en contradiction avec l'hypothèse $\pgcd(k,n)=1$.
-
Soit $ K(\alpha)$ et $ K(\beta)$ deux extensions simples de $K$ telles que
$[K(\alpha):K]=m>0$ et $ [K(\beta):K]=n>0$
Montrer que $[K(\alpha,\beta):K]<+\infty$
L'idée que j'avais c'est de partir de ce morphisme
$\begin{array}{ccccc}
\Theta_{\alpha,\beta} ~:& K[X]& \longrightarrow & M_{2}(K[\alpha]\times K[\beta] )\\
& P& \longmapsto &\begin{pmatrix}
P(\alpha) & 0\\
0 & P(\beta)
\end{pmatrix}
\end{array}$
Avez-vous une indication à me suggérer ? -
Je dirais plutôt :
$\alpha$ est algébrique sur $K$ donc à fortiori sur $K(\beta)$ donc... -
Non $\Irr_{K}(\alpha,X)$ n'est pas égal à $\Irr_{K(\beta)}(\alpha,X)$ en général (par exemple si $\alpha=\beta$ on aurait $\Irr_{K(\beta)}(\alpha,X)$ de degré 1).
Je pensais plutôt à $\alpha$ est algébrique sur $K$ donc a fortiori sur $K(\beta)$ donc en posant $K'=K(\beta)$, $\alpha$ est algébrique sur $K'$ par conséquent $[K'(\alpha):K']< +\infty$.
Mais $K'(\alpha)=\ldots$ -
Humm je me rends compte que tu as changé ton énoncé, du coup j'adapte mon indication :
on a la tour d'extension $K\subset K(\beta)\subset K(\beta)(\alpha)$... est-ce que tu arrives à terminer ? -
(tu)
-
Bonjour
Je souhaite montrer ce résultat.
Soient $K$ un corps, $\Sigma_f$ le corps de décomposition de $f $, $f(X) \in K[X]$ tel que $\deg(f)=n\geq 1$
Montrer que $f(X)$ est irréductible dans $K[X]$ si et seulement si n'a aucune racine dans les extensions $ L$ de $K$ telles que
$ [L:K]\leq E(\frac{n}{2})$
J'ai une preuve mais je recherche une preuve avec d'autres arguments.
Supposons $f$ est irréductible dans $K[X]$
Soit $ L$ une extension de $K$ telle que $ [L:K]\leq E(\frac{n}{2})$
Soit $a $ une racine de $f$ dans L
alors $Irr_{K}(a,X)$ diviserait $f$ comme $f$ est irréductible alors $ f(X)=Irr_{K}(a,X)$ par la suite
$ L=\Sigma_{f}$ donc $ \deg f<n$ absurde.
Supposons pour toute extension $ L$ de $K$ telle que
$ [L:K]\leq E(\frac{n}{2})$ et L ne contient pas de racine de $f$
alors si $f$ admet des facteurs irréductibles alors tous ses facteurs ont tous des degrés $>E(\frac{n}{2})$
soit $k$ le nombre de facteurs irréductibles de $f$, on a :
$$ n>\frac{kn}{2},$$ donc $k<2$ et par la suite $k=1$.
Je suis à la recherche d'une preuve courte. Quelqu'un a une indication à me suggérer ? -
$\Sigma_f$ et $L$ étant toutes deux extensions de $K$, contiennent donc $K$.
Comment peut-on avoir $\Sigma_f\cap L= \emptyset$ ?
Alain
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Bonjour!
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