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Det(w) positif ou nul

Envoyé par etanche 
Det(w) positif ou nul
24 juillet 2021, 21:58
Bonjour

$n>1$ entier, $\ u \in \mathcal L(\R^n),\ u^2 = - \mathrm{Id}$, $\ w \in \mathcal L(\R^n),\quad w\circ u=u\circ w$
Montrer que $\det(w) \geq 0$.

Merci.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 24/07/2021 22:24 par AD.
Re: Det(w) positif ou nul
24 juillet 2021, 22:18
Indication. Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, que l'on regarde aussi comme un $\R$-espace vectoriel de dimension $2n$. Soit $f\in {\mathcal L}_\C (V)\subset {\mathcal L}_\R (V)$. Soit ${\rm det}_\C (f)$ (resp. ${\rm det}_\R (f)$) le déterminant de $f$ vu comme élément de ${\mathcal L}_\C (V)$ (resp. comme élément de ${\mathcal L}_\R (V)$. Montrer la relation :
$$
{\rm det}_\R (f)=N_{\C /\R} ({\rm det}_\C (f)),

$$ où pour $z\in \C,\ N_{\C /\R}(z) =z\bar{z}$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 25/07/2021 10:13 par Philippe Malot.
Re: Det(w) positif ou nul
24 juillet 2021, 22:22
Pour l'indication, il suffit de considérer le cas d'une matrice complexe triangulaire, donc au fond diagonale, et finalement le cas de la dimension $1$ complexe suffit. Autrement dit, il suffit de comprendre la matrice réelle d'une application de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto wz$, pour $w$ complexe donné.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 25/07/2021 10:13 par Philippe Malot.
Re: Det(w) positif ou nul
25 juillet 2021, 13:28
J'ajoute un message pour attirer l'attention sur ce fil extrêmement intéressant!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
25 juillet 2021, 17:40
Une démonstration possible :
on montre d'abord qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ s'écrit $\pmatrix{0&-I_m\cr I_m&0}$ (on a posé $n=2m$)

puisque $u$ et $w$ commutent on déduit que la matrice de $w$ dans cette base s'écrit $M=\pmatrix{A&-B\cr B&A}$

avec des opérations sur lignes et colonnes on obtient une matrice triangulaire par blocs qui donne $\det(M)=|\det(A+iB)|^2$
Re: Det(w) positif ou nul
25 juillet 2021, 20:13
Paul Broussous : je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais je me demande (et tu sauras certainement) s'il y a une manière de voir cette égalité "un niveau plus haut", à savoir au niveau de $\bigwedge^n_\C$ versus $\bigwedge^{2n}_\R$.
Je pose la question parce que la preuve de MathCoss ne se généralise pas extrêmement bien à d'autres extensions galoisiennes (où le gros corps n'est pas algébriquement clos), alors qu'une preuve qui parle de $\bigwedge$ a plus de chances de se généraliser

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
25 juillet 2021, 23:55
Pour la matrice de u par blocs donné par jandri voir ici



Modifié 2 fois. Dernière modification le 25/07/2021 23:56 par etanche.
Re: Det(w) positif ou nul
26 juillet 2021, 07:59
Maxtimax : la démonstration de la généralisation que je connais utilise le fait qu'un caractère de ${\rm GL}(n,F)$ ($F$ corps quelconque) est toujours de la forme $\chi \circ {\rm det}$, où $\chi$ est un caractère de $F^\times$, sauf si $n=2$ et $F={\mathbf F}_2$.
Re: Det(w) positif ou nul
26 juillet 2021, 10:44
Paul : Mhm oui effectivement c'est une autre généralisation qui marche bien dans le cas d'extensions galoisiennes de corps, mais pas vraiment dans d'autres contextes... Merci quand même !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
26 juillet 2021, 16:55
Maxtimax : on n'utilise pas du tout l'hypothèse galoisienne. En fait la formule à laquelle on pense est vraie pour toute extension finie $E/F$, galoisienne ou pas, séparable ou pas.
Re: Det(w) positif ou nul
26 juillet 2021, 17:20
Paul : oui bien sûr, je m'imaginais juste une généralisation dans une autre direction, où il est probable que la Galoisiannité joue un rôle. Mais bon, comme je n'ai rien de précis à dire, je vais m'arrêter là winking smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
26 juillet 2021, 17:21
Pour les gens intéressés, je donne une démonstration complète du résultat suivant.

Soit $E/F$ une extension finie de corps et $V$ un $E$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Notons $\det_F$ (resp. $\det_E$) l'application déterminant ${\mathcal L}_F (V)\rightarrow F$ (resp. ${\mathcal L}_E (V) \rightarrow E$). Notons $N_{E/F}$ : $E\rightarrow F$ la norme. Rappelons que pour $x\in E$, $N_{E/F}(x)$ est le déterminant du $F$-endomorphisme de $E$ donné par la multiplication par $x$. On a alors :
$$
{\det}_F (a) = N_{E/F}\circ {\det}_E \, (a) , \qquad a\in {\mathcal L}_E (E)\ .


$$
Démonstration. Si $a\in {\mathcal L}_E (F)$ est non inversible, il est aussi non inversible vu comme endomorphisme $F$-linéaire de $V$, de sorte qu'il suffit de montrer le résultat pour $a\in {\rm GL}_E (V)$. On peut aussi remarquer que, le cas $E=F$ étant évident, on peut supposer $E\neq {\mathbf F}_2$. La restriction de $\det_F$ à ${\rm GL}_E (V)$ est un caractère. Elle s'écrit donc $\chi \circ \det_E$. Il s'agit de démontrer que $\chi =N_{E/F}$. Pour cela on fixe une base $(e_1 ,\ldots,e_n )$ du $E$-espace vectoriel $V$ et on considère l'endomorphisme $a$ de matrice diagonale ${\rm diag}(x,1,\ldots,1)$ dans cette base, $x\in E^\times$. On a bien sûr $\det_E (a)=x$. D'un autre côté, la décomposition du $F$-espace vectoriel $V=Ee_1 \oplus \cdots \oplus Ee_n$ est stable par $a$ et $\det_F (a)$ est le déterminant de la multiplication par $x$ dans $E$, vu comme $F$-espace vectoriel. On a donc $\det_F (a) = N_{E/F}(x)$ d'un côté, et $\chi (x)$ de l'autre. On a donc le résultat, vu que $x$ est arbitraire dans $E^\times$.

N.B. J'ai utilisé le fait que le groupe dérivé de ${\rm GL}(n,K)$, $K$ corps commutatif, est ${\rm SL}(n,K)$, sauf si $n=2$ et $K={\mathbf F}_2$. Pour ${\rm GL}(2,{\mathbf F}_2 )\simeq {\mathfrak S}_3$, on a un caractère qui n'est pas de la forme $\chi\circ\det$ : la signature.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/07/2021 23:10 par AD.
Re: Det(w) positif ou nul
28 juillet 2021, 09:37
J'ai corrigé suivant les indications de maxitimax et ai mis ma version fautive en pièce jointe. Ces changements expliquent les numéros de paragraphe disparus.

Merci à tous!

Mes dyscalculie presbytie + probable petites coquilles me gênent un peu, je vais reformuler tout pour les vieux qui voient mal les petits caractères et même les étudiants un peu timides qui passeront plus tard en présentation aérée. Ne pas hésiter (pour les béotiens) à demander précision sur les mots en gras.

1/ Soient $A,B$ deux corps avec $A$ sous-corps de $B$.

2/ On note que NATURELLEMENT $B$ est un espace vectoriel sur $A$. On suppose sa dimension finie.

3/ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $B$.

4/ On note que $E$ est aussi un espace vectoriel de dimension finie sur $A$, mais je vais le noter $F$.

5/ Je vais maintenant passer à une AFFIRMATION qui semble fausse, mais vraie dans une grosse partie des contextes.

6/ Soit $f$ une application $B$-linéaire $E\to E$, autrement dit $f\in L_B(E,E)$.

7/ On note que $f$ est aussi une application linéaire de $F\to F$, autrement dit $f\in L_A(F,F)$.

8/ Les corps et les dimensions étant différents, $f$ a deux déterminants.

8.1/ Le déterminant de $f$ vue comme élément de $L_B(E,E)$ sera noté $D_1$

8.2/ Le déterminant de $f$ vue comme élément de $L_A(F,F)$ sera noté $D_2$

10/ On note que $D_1$ est une APPLICATION LINEAIRE DE $B\to B$. Elle a donc un déterminant, élément de $A$ que je note $Y$.
edit fait: j'avais écrit $A$ au lieu de $B$, (merci max)

11/ Et bien le théorème que Paul signale est qu'on a toujours $D_2 = Y$.

14/ Je n'ai pas fait l'exercice de voir pourquoi comme cas particulier, on obtient la résolution de l'exercice du 1er post, par contre :



15/ J'ai personnellement gagné beaucoup avec ce fil. Voici (c'est un peu HS) ce que j'ai gagné :

15.1/ $\C$ est un espace vectoriel sur $\R$
15.2/ Un nombre complexe (sans même avoir besoin de se représenter ce que c'est) est une AL de $\R$ dans $\R$.

15.3/ Il a donc un déterminant

15.4/ Et en ce jour notable pour moi, ledit déterminant, indépendant de toute base de $\C$ sur $\R$, FONDE LA CANONICITE de la notion de module d'un nombre complexe.

15.5/ Or le paradigme quantique en a besoin, et tel qu'il était connu (par moi) le module apparaissait comme "un caprice de matheux qui cherchaient des isomorphismes de corps"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 4 fois. Dernière modification le 29/07/2021 11:27 par christophe c.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - versionFautive.tex (1.8 KB)
Re: Det(w) positif ou nul
28 juillet 2021, 09:37
Si on ne s'intéresse pas à ces généralités,

Jandri a donné une preuve "sans background"

du résultat du 1er post.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/07/2021 09:39 par christophe c.
Re: Det(w) positif ou nul
28 juillet 2021, 10:24
Christophe : en choisissant des notations bizarres, enfin, inexplicites, tu arrives à des erreurs. Tu as écrit en 11/ :

$\det_A(\det_A(f))\det_B(f) = \det_A(f)$

(en supposant que tout est inversible, bon, sinon tu as ècrit quelque chose de légèrement différent)

C'est pour ça que ça entraîne ton 12/ qui est effectivement bizarre : l'énoncé de Paul est valable sans restriction sur $f$, et c'est $\det_A(f) = \det_A(\det_B(f))$.

Si tu veux écrire en termes de $D_i$'s :$D_1 : B\to B$ est linéaire, donc a un déterminant sur $A$, ce déterminant je l'appelle $Z$; l'énoncé est que $D_2 =Z$

Tu.vois bien d'ailleurs que ton truc ne peut pas marcher puisque tu prends le déterminant de $D_2$ en tant qu'application linéaire sur $A$, alors que $D_2$ est déjà un.scalaire de $A$ !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
28 juillet 2021, 11:15
Un grand merci à toi. On voit bien que j'avais mal compris et emmegazine l'idée.

J'apporterai les édits de mon pc.

MERCI!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
28 juillet 2021, 12:00
Voilà, j'ai corrigé, merci encore. En espérant qu'il n'y a plus de faute.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 00:12
Toujours une coquille grinning smiley $D_1$ est $A$-linéaire, mais $B\to B$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 00:35
Peut-on avoir le fichier de Christophe c
en pdf ? Merci
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 10:02
Merci. Je corrigerai

@etanche. Le simple fait de lire maxtimax à sa première correction + éventuellement les premiers points introductifs SUFFIT. j'ai laissé l'ancienne version FAUTIVE par règle éthique vis à vis du post de maxtimax qui sinon aurait eu un post corrigeant des erreurs n'existant plus à l'edit.

A moins de vouloir lire des fautes le fichier txt est sans grand intérêt puisqu'il est fautif.

Rien à voir: je souhaite avouer honteusement que je n'ai que très peu de temps pour moi. Du coup est-il normal que je ne vois pas en quoi ce théorème général de PB résout le fil?

Je précise que je plaide coupable de ne pouvoir creuser. Mais en principe j'avais comble des lacunes en algèbre linéaire et peut être en ai je gardé une ici?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 10:05
Christophe : Muni de $i := u$, $\R^n$ devient un $\C$-espace vectoriel; et l'hypothèse sur $w$ nous dit qu'il est en fait $\C$-linéaire pour cette structure de $\C$-ev.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 11:37
Aaah, merci beaucoup Max, le fameux "$K[Matrice]$-module grinning smiley !!!

Aux lecteurs, j'explicite un peu :

100/ L'application $((x+iy), v) \mapsto xv + yu(v)$ DOTE le $\R^n$ de l'énoncé d'une structure d'espace vectoriel sur $\C$, les type étant $x,y$ réels, $v\in \R^n$.

101/ Le calcul général $w([x+iy] v ) = w (xv + yu(v)) = xw(v) + yw(u(v))$ =

$xw(v) + yu(w(v)) = [x+iy] w(v)$

le égal rouge figure l'endroit où $uw=wu$ a été exploitée.


102/ montre que $w$ est donc une application linéaire sur ce nouveau $\C$-espace vectoriel.

103/ Elle a un déterminant qui est donc un nombre complexe $z$.

104/ son déterminant quand on regarde $w$ en tant qu'application linéaire sur le $\R$-espace vectoriel de départ est donc le déterminant, qui est un nombre réel de l'application linéaire "multiplication par $z$" quand on regarde $\C$ comme $\R$-espace vectoriel, et ce d'après le théorème de Paul Broussous

105/ Il suit que $det_\R(w) = ModuleDe(z)$ au carré.

106/ Moralité de l'histoire, Paul Broussous était EXTREMEMENT AVANTAGE en ayant dans son background le théorème qu'il a partagé avec nous. Il semblerait donc important que ce théorème soit rendu célèbre, non?

107/ Y a-t-il des énoncés qu'un L1 peut comprendre mais qu'il aura du mal à démontrer qui soient cas particulier de ce superthéorème?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 29/07/2021 11:41 par christophe c.
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 12:22
Christophe: en fait ton calcul 101, même si c'est (évidemment) la même chose que tu fais à la fin, peut être sauté/évité/deviné/... en formulant "être $A$-linéaire" comme "commute avec l'endomorphisme donné par $a\cdot -$".

Du coup, être $\C$-linéaire c'est commuter avec $x \in\R$ et avec $i$, sauf qu'ici $i= u$.
Je réitère que c'est le même calcul, mais je trouve ça plus clair que ce n'est pas un calcul supplémentaire : c'est précisément l'hypothèse. Le calcul important est que $i:=u$ définit bien une structure complexe.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 12:42
@max: je ne comprends pas. Mon calcul X prouve ton affirmation A. Je n'arrive pas à comprendre ton post, je le lis comme si tu disais "ne prouvons pas A". Pourquoi pas, mais pourquoi dis-tu ça?

Ou peut-être dis-tu "A est EVIDENT" ? (On peut comprendre comme ça aussi ton post me semble-t-il)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 13:09
Christophe : ce que je dis c'est que ton calcul prouve A, mais que A est évident quand on reformule ce que tu veux dire la linéarité. Autrement dit, cette reformulation (pour laquelle on fait le même calcul, c'est pour ça que je dis qu'on n'y gagne rien mathématiquement, seulement en clarté peut-être) fait que A est une hypothèse, et non pas la conséquence d'un calcul.

En gros dans ton théorème "tout théorème est cas particulier d'une évidence", ici tu prouves E à partir de E => E avec ton calcul grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/07/2021 13:11 par Maxtimax.
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 14:08
Je crois que tu es devenu trop fort en algèbre grinning smiley de mon téléphone

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 15:18
De mon pc,

@max, je n'ai pas l'impression d'avoir compris ce que tu voulais dire. Je comprends, sans être sûr, que tu dis que j'ai "formulé $A$", mais que "$A$ disait déjà ça de manière non formulée" en gros.

Mais comme tu as posté, je trouve étonnant que ce soit pour dire ça confused smiley donc il y a peut-être un truc que je loupe.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 15:29
Mhm non je dis que tu as fait un calcul pour obtenir "$w$ est $\C$-linéaire" alors que "$w$ est $\C$-linéaire" est exactement l'hypothèse que $w$ commute avec $u$.
Enfin, à nouveau, c'est juste une question d'organisation, ce que tu as écrit est juste et doit figurer quelque part si on devait écrire une preuve ordinateur blabla; simplement pour une preuve rédigée humainement, c'est l'hypothèse.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 18:56
en fait, je crois que c'est bien ce que je disais, tu es devenu trop fort grinning smiley

La phrase $<<w$ est $\C$-linéaire$>>$ et la phrase $<<u\circ w=w\circ u>>$ sont différentes syntaxiquement parlant, et même si mon calcul n'était pas exhaustif, je pense que c'est un peu comme si tu voulais supprimer une gare, ç savoir soit on connait rien et il faut entièrement visiter en détail une bonne page de cours sur les $\R[ u ]$-modules, soit on connait tout et mon calcul apparait évident, et redondant.

Bon en gros, on va dire que j'ai ajouté une gare de campagne sur la ligne pour laisser souffler les lecteurs (dont moi-même, j'ai eu besoin d'écrire le truc). .

Je suis quasi-sûr que tu es "trop fort" au sens où tu sembles avoir certains réflexes (ce n'est pas la première fois que je le remarque) que tu n'imagines plus absents chez les autres. Tu n'es pas le seul, c'est un peu un point qu'on trouve chez les "morpheurs" qui à force d'être habitués aux "can" non nommés ont tendance à voir ces can comme des téléportations automatiques non couteuses (j'ai déjà assisté à des posts de NoName, ClaudeQ, GBZM, et donc toi que je ne comprenais pas et que le vis à vis ne comprenait pas que je ne comprenne pas)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 21:18
Christophe écrivait : "106/ Moralité de l'histoire, Paul Broussous était EXTREMEMENT AVANTAGE en ayant dans son background le théorème qu'il a partagé avec nous. Il semblerait donc important que ce théorème soit rendu célèbre, non? "

En fait quand tu fais des mathématiques, de façon professionnelle ou non, tu te trimballes avec un "caisse à outils" que tu enrichies de jour en jour. Souvent tu tombes sur un os et tu essaies de prouver un résultat. Plusieurs cas de figure : tu arrives à le résoudre, tu fouilles les articles pour voir si ça n'est pas démontré quelque part, tu fouilles les grandes monographies de base pour vérifier si ça n'est pas dedans, tu demandes à un collègue, à un spécialiste, etc. . Dans tous les cas tu apprends une technique nouvelle et tu la rajoutes à ta boîte à outil.

Ce qui ajoute de la difficulté, c'est que dans chaque spécialité, il y a une ribambelle de résultats dits "folkloriques" qui s'accumulent avec le temps. Dans l'exemple précis du fil, c'est un résultat dont j'ai eu besoin et que j'ai démontré en exercice. Je ne l'ai vu rédigé nulle part, ce qui ne signifie pas qu'il n'est pas explicitement démontré quelque part : c'est possible. Donc, j'étais en effet "avantagé" pour cet exercice.

Je partage ceci car c'est un moyen de démystifier les choses, pour les gens qui s'imaginent qu'ils sont entourés de "génies" sur le forum. Bien sûr, le vrai génie existe bel et bien. Mais il est rare ! Les mathématiques sont un artisanat qui s'apprend en faisant son compagnonnage.
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 21:29
Merci :)
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:01
Merci Paul

Citation

Dans l'exemple précis du fil, c'est un résultat dont j'ai eu besoin et que j'ai démontré en exercice. Je ne l'ai vu rédigé nulle part

Snif snif....

C'est une formule pure et belle, dommage. Je vais essayer de trouver du temps pour lire de manière méticuleuse ta preuve, car je souhaite ne jamais oublier ce théorème. thumbs down

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:07
Oula, je viens de regarder ta preuve, elle contient beaucoup de background. La reconstruire sans background sera donc un projet. Je vais ouvrir un "fil lent".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:10
J'ai oublié de préciser l'intérêt du résultat du fil en géométrie. Une variété complexe est toujours orientable vue comme variété réelle. En effet dans les changements de cartes, les jacobiens des applications de transition sont toujours positifs !
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:18
C'est encore plus alléchant avec la précision que tu viens de donner car il y a des connexions entre géométrie et physique en plus.

J'ai ouvert et préparé le fil à projet :

[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:18
Christophe : la première phrase est syntaxiquement égale à "pour tous réels $a,b$, $w\circ (a+bu) = (a+bu)\circ w$", donc elle est presque la même que la seconde (lorsqu'on sait que $w$ est $\R$-linéaire)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Det(w) positif ou nul
29 juillet 2021, 22:25
@Max: merci, oui, je pense que j'avais à peu près compris ta position une fois lu ton dernier post. Mais j'ai l'impression que notre petit échange illustre "ce qui va sans dire, va mieux (ou au moins aussi bien) en le disant" qui est un proverbe célèbre (pas forcément vrai dans tous les cas d'ailleurs, je pense (si on inclut le hors maths).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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