Suite définie par récurrence (L1 algèbre)

Omkara · July 2021

Bonjour
Je souhaiterais avoir une idée de la démonstration des points 2) et 3) de cette proposition sur les suites définies par récurrence.

Proposition
1) Si $a^{2}-4 b>0$, l'équation caractéristique de $R$ admet deux solutions réelles $r_{1}$ et $r_{2}$ distinctes et, si on définit les suites $s$ et $t$ par $s_{n}=r_{1}^{n},\ t_{n}=r_{2}^{n}$, on $a$ :
$S(R)=\operatorname{Vect}(s, t) .$ Si $r_{1}=0$, on définit $s$ par $s_{n}=0$ pour tout $n$ à l'exception de $s_{0}=1$.
2) Si $a^{2}-4 b=0$, l'équation caractéristique de $R$ admet une racine double $r .$ Si $r$ est non $n u l$, on définit $s$ et $t$ par $s_{n}=r^{n},\ t_{n}=n r^{n}$ et on a $S(R)=\operatorname{Vect}(s, t)$. Si $r$ est $n u l$, on définit les suites $s$ et $t$ par $s_{n}=t_{n}=0$ pour tout $n$ à l'exception de $s_{0}=t_{1}=1$.
3) Si $a^{2}-4 b<0$, l'équation caractéristique de $R$ admet deux solutions imaginaires conjuguées $\rho e^{\pm i \theta},$ où $\rho$ est réel positif et $\theta$ est réel et, si on définit ${s}$ et $t$ par $s_{n}=\rho^{n} \cos n \theta, t_{n}=\rho^{n} \sin n \theta$, on $a: S(R)=\operatorname{Vect}(s, t)$

Je suis parvenu à faire la démonstration du 1er point mais il doit y avoir un subtilité pour les deux suivants.
Toute aide serait bien venue.
Cordialement,
Omkara

Dom · July 2021

De mémoire, une méthode est de commencer par « algébriser ».
Il s’agit ensuite de voir comment on peut diagonaliser (si possible) une matrice.

Vois-tu de quoi je parle ?

Omkara · July 2021

Bonjour
Merci pour tes indications Dom, mais pour l'instant "algébriser", "diagonaliser", c'est trop pointu pour moi. Je me remets aux mathématiques post-bac (début de L1).

Voici ma "preuve" pour le 1).
On a : $r_{1}^{2}+a r_{1}+b=0$, en multipliant chaque membre par $r_{1}^{n-2}$, on a $r_{1}^{n}+a r_{1}^{n-1}+b r_{1}^{n-2}=0$, ce qui prouve que la suite $s$ est dans $S(R)$. De manière similaire, on obtient que la suite $t$ est dans $S(R) .$ On en déduit que toute combinaison linéaire des suites $s$ et $t$ est dans $S(R)$, autrement dit Vect $(s, t) \subset S(R)$.
Maintenant, pour montrer $S(R) \subset$ Vect $(s, t)$, je montre que tout élément $u$ de $S(R)$ est combinaison linéaire de $s$ et $t$, autrement dit, qu'il existe des réels $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ tels que :
$$
\lambda_{1} s+\lambda_{2} t=u.

$$ Cette égalité impose, pour les indices $0$ et $1:$
$$
\begin{aligned}
&\lambda_{1} s_{0}+\lambda_{2} t_{0}&=u_{0} \\
&\lambda_{1} s_{1}+\lambda_{2} t_{1}&=u_{1}
\end{aligned}
$$ c'est-à-dire :
$$
\begin{gathered}
\lambda_{1}+\lambda_{2}&=u_{0} \\
\lambda_{1} r_{1}+\lambda_{2} r_{2}&=u_{1}
\end{gathered}
$$ ce qui donne, puisque $r_{1}$ et $r_{2}$ sont distincts, des valeurs de $\lambda_{1}$ et de $\lambda_{2}$.

Puis, je vérifie par récurrence que ces valeurs de $\lambda_{1}$ et de $\lambda_{2}$ conviennent pour tous les termes de la suite, c'est-à-dire que $u_{n}=\lambda_{1} s_{n}+\lambda_{2} t_{n}$ pour tout entier $n .$
Donc, ayant choisi $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ de façon que l'égalité soit vraie pour les indices 0 et 1, je suppose à présent que :
$$
\lambda_{1} s_{k}+\lambda_{2} t_{k}=u_{k}

$$ soit vraie pour tout entier $k \leqslant n$ avec $n \geqslant 1$. Pour l'entier $n+1$, on a :
$$
\begin{aligned}
u_{n+1} &=-a u_{n}-b u_{n-1} \\
&=-a\left(\lambda_{1} s_{n}+\lambda_{2} t_{n}\right)-b\left(\lambda_{1} s_{n} 1+\lambda_{2} t_{n} 1\right) \\
&=-a\left(\lambda_{1} r_{1}^{n}+\lambda_{2} r_{2}^{n}\right)-b\left(\lambda_{1} r_{1}^{n-1}+\lambda_{2} r_{2}^{n-1}\right) \\
&=\lambda_{1} r_{1}^{n-1}\left(-a r_{1}-b\right)+\lambda_{2} r_{2}^{n-1}\left(-a r_{2}-b\right) \\
&=\lambda_{1} r_{1}^{n+1}+\lambda_{2} r_{2}^{n+1}
\end{aligned}
$$ Donc :
$$
\lambda_{1} s+\lambda_{2} t=u.

$$ Donc : Vect $(s, t) = S(R)$

Ma difficulté est de ne pas parvenir à reproduire cette procédure de démonstration pour le 2) (cas des racines doubles) ou le 3) (cas complexe) par exemple.
Bien cordialement,
Omkara

math2 · July 2021

Sans aller jusqu'à diagonaliser, qui effectivement est du niveau L2, tu pourrais démontrer que l'espace des suites qui vérifient la relation de récurrence est un e.v. de dimension $2$ (c'est assez intuitif, pour pouvoir calculer tous les termes on a juste besoin de $u_0$ et $u_1$, que l'on peut choisir librement, mais il s'agit de le démontrer complètement). Une fois ceci acquis, si tu trouves deux suites solution qui génèrent un espace de dimension $2$ (ce qui, dans le cas de deux, revient simplement à dire qu'elles ne sont pas proportionnelles), alors tu auras tout l'espace. C'est en ce sens que Dom parlait d'algébriser. Il s'agit de profiter de la structure de l'ensemble des solutions.