Exercice d'algèbre X

20100N · July 2021

Bonsoir , je partage au plaisir pour les intéressés un exercice donné à l'oral de l'X .

Soit A dans M_n(R) telle que det(M)=1 , on note N la norme euclidienne canonique sur R^n.

Montrer qu'il existe x dans R^n tel que N(Mx) = N(x) = 1 et qu'il existe (O₁,O₂ ) dans (SO_n(R))^2 ainsi que T triangulaire supérieure avec uniquement des 1 sur la diagonale telles que A = O₁TO₂.

Bon courage.

Zig · July 2021

Bonjour,

$M^{T}M$ est symétrique (définie positive), donc diagonalisable, de déterminant 1, donc admet au moins une valeur propre inférieure ou égale à 1 et une valeur propre supérieure ou égale à 1.
La continuité de l'application $x\longmapsto\left\Vert M\left(x\right)\right\Vert ^{2}=\left(M^{T}M\left(x\right)/x\right)$ sur la sphère unité qui est connexe implique alors le passage par la valeur 1, ce qui répond à la première question.
.

bd2017 · July 2021

Bonjour
Pour la question 2. on applique la question 1 et on s'aide d'une récurrence.
On procède comme ceci.

Soit $(R_1,S_1)\in (SO_n(\R))^2$ tel que $\ R_1(e_1)=x$ et $S_1(e_1)=Mx$

Comme $T_1(e_1)=S_1^{-1} M R_1(e_1)=e_1$ la matrice $T_1$ s'écrit par blocs comme ceci $\ T_1=\pmatrix{1 & \ldots \cr 0 & M_1}$

Évidemment $\det(T_1)=1$ et donc le bloc de taille $n-1$ vérifie $\det(M_1)=1$. On utilise l'hypothèse de récurrence pour finir sans problème...

Exercice d'algèbre X

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Bonjour!

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