Déterminant et changement de corps de base
dans Algèbre
Ne vous pressez pas de répondre avec de gros outils, j'ouvre ce fil pour construire une preuve sans background (sur la durée) d'un théorème de Paul Broussous énoncé et prouvé "savamment" dans un autre fil.
Je me contente de l'énoncer pour l'instant, pour ne pas oublier. Évidemment si vous trouvez une preuve sans background, il n'est pas interdit de la poster.
Énoncé : soient $A,B$ des corps commutatifs tels que $A$ est un sous-corps de $B$, avec $B$ de dimension finie quand on le regarde comme espace vectoriel naturel sur $A$.
Soit $E$ un espace vectoriel sur $B$ de dimension finie.
Soit $f\in E^E$ qui est $B$-linéaire.
Notez qu'elle est donc aussi $A$-linéaire.
Soit $x\in B$. Alors $[y\in B\mapsto xy]$ est une application linéaire de l'espace vectoriel $B$ dans lui-même vu comme espace sur sur le corps $A$ et elle a donc un déterminant dans $A$ que je note $D(x)$.
[large]Le théorème de Paul dit que :
$$
det_A(f) = D (det_B(f))
$$[/large] J'espère qu'avec le temps le présent fil permettra de donner une "preuve à tout le monde" sans peiner à la lire qui maîtrise les données de l'énoncé. C'est le but de ce fil. Personnellement, je n'ai pas assez de temps en ce moment d'avoir fait autre chose que de l'ouvrir.
Pour les gens qui ont du bagage, la preuve avec des outils est ---> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2279552,2280374#msg-2280374
Je me contente de l'énoncer pour l'instant, pour ne pas oublier. Évidemment si vous trouvez une preuve sans background, il n'est pas interdit de la poster.
Énoncé : soient $A,B$ des corps commutatifs tels que $A$ est un sous-corps de $B$, avec $B$ de dimension finie quand on le regarde comme espace vectoriel naturel sur $A$.
Soit $E$ un espace vectoriel sur $B$ de dimension finie.
Soit $f\in E^E$ qui est $B$-linéaire.
Notez qu'elle est donc aussi $A$-linéaire.
Soit $x\in B$. Alors $[y\in B\mapsto xy]$ est une application linéaire de l'espace vectoriel $B$ dans lui-même vu comme espace sur sur le corps $A$ et elle a donc un déterminant dans $A$ que je note $D(x)$.
[large]Le théorème de Paul dit que :
$$
det_A(f) = D (det_B(f))
$$[/large] J'espère qu'avec le temps le présent fil permettra de donner une "preuve à tout le monde" sans peiner à la lire qui maîtrise les données de l'énoncé. C'est le but de ce fil. Personnellement, je n'ai pas assez de temps en ce moment d'avoir fait autre chose que de l'ouvrir.
Pour les gens qui ont du bagage, la preuve avec des outils est ---> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2279552,2280374#msg-2280374
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Réponses
Je pense que l'on doit pouvoir se passer de la connaissance du groupe dérivé de $GL(n)$. Ca n'est pas très naturel de passer par là.
Je ne sais pas si la preuve qui s'y trouve peut se généraliser à $B$-ev de dim finie, il faudrait que je la lise d'abord...
PS. ce qu'il note $N$ c'est $\det$. D'ailleurs ceci suggère qu'on devrait avoir la même généralisation avec la trace.
(Dans le contexte de cette proposition, $K$ désigne un anneau commutatif et pas nécessairement un corps)
On peut préciser que les transvections forment un système de générateurs d'un certain groupe.
Cordialement,
Rescassol
L'intérêt de ce point de vue est bien sûr qu'il n'y a plus de changement de corps de base : tout se passe sur $K$. Si $L/K$ est un extension finie, on voit un endomorphisme $f\in End_L (L^n )$ comme une matrice par blocs dans $M_n (M_d (K))$, $d=[L:K]$, en regardant un élément $x$ de $L$ comme le $K$-endomorphisme de $L$ de multiplication par $x$ (après avoir fixé une base de $L$ sur $K$).
Merci Paul, en espérant ne pas me tromper.
Pour la commutation, chat, cela provient peut-être du fait de la commutativité qui nous conduit à la négligence que quand on dit que le déterminant de
$$
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
$$ est $ad-bc$, on s'en fiche un peu que ce soit aussi $ad-cb$, ce dernier étant la "bonne" écriture avec la formule avec la signature, etc ?
Pour les visiteurs paresseux, l'énoncé que Paul a extrait à son dernier post est la généralisation du fait que le déterminant de
$$
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
$$ est le déterminant de $AD-BC$ sous l'hypothèse que les 4 matrices $A,B,C,D$ commutent entre elles.
$A'=PAP^{-1}, \dots,D'=PDP^{-1}$, avec $A', \dots, D'$ trigonales supérieures.
Donc, si par exemple $d=2$, $\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} \lambda_1& \alpha& \mu_1& \beta \\0&\lambda_2&0&\mu_2 \\ \nu_1& \gamma& \rho_1& \delta \\0& \nu_2&0& \rho_2 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} \lambda_1& 0& \mu_1& 0 \\0&\lambda_2&0&\mu_2 \\ \nu_1& 0& \rho_1& 0 \\0& \nu_2&0& \rho_2 \end{pmatrix}$.
En effet, pour la dernière égalité, en imaginant le développement du déterminant sous forme $\sum_{\sigma}\epsilon ( \sigma ) \Pi_i m_{i,\sigma(i)}$, on voit que forcément les termes $m_{i,\sigma(i)}$ qui comptent, sont sur les diagonales de $A',B',C'$ ou $D'$.
Finalement, par permutation des lignes et des colonnes, $\det M= \det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mu_1 &0&0\\ \nu_1 & \rho_1 &0&0\\ 0&0 &\lambda_2 & \mu_2\\0& 0 &\nu_2 & \rho_2\end{pmatrix}= \det \begin{pmatrix} \lambda_1 \rho_1- \nu_1 \mu_1 &0 \\ 0 &\lambda_2 \rho_2- \nu_2 \mu_2 \end{pmatrix}=\det (A'D'-C'B')=\det (AD-CB)$
Peut-être serait-il intéressant d'écrire quelques mosts (que je pourrais reprendre et rédiger en détails plus tard) qui ADMET la version matricielle et EN DEDUIT la version intrinsèque? Certes le déterminant ne dépend pas de la base, mais c'est peu rigoureux de se contenter de ça.
J'avoue que pour le reste, je ne sais pas. Peut-être que l'idée de JLT, une fois détaillée, devient "évidente", je ne sais pas je n'ai pas trop le temps en plus d'alimenter occasionnellement mon fil "quantique".
Je me dépêche de taper une proposition. Je ne redéfinis pas ce que veut dire "abélianisé d'un monoïde associatif". Sauf si quelqu'un demande.
Je propose D'ADMETTRE l'énoncé suivant (qui semble être connu et vrai, d'après mes souvenirs de forum) :
Peut-on TRIVIALEMENT déduire l'énoncé initial de Paul de cet énoncé ?
À vue de nez, ça m'a l'air intéressant de l'aborder comme ça. Ce que Paul a nommé "norme" par exemple va donner un petit parfum de difficulté légère dont j'ignore si elle peut être levée.
Fait.
Je ne connais pas l'énoncé formel exact.
Et au fait pardon pour le titre, j'avais dans le projet de le changer en mettant "Paul" tout court et j'ai oublié par la suite (j'ai tendance à voir tous pseudo comme un code anonymise alors qu'une partie des intervenants mettent leur nom)