Gourmandise

Bonjour,

Pour $p\in\N$ et $n\in\N^*$, notons $s_{p,n}=1^p+2^p+\cdots+n^p$.

Soit le tableau de nombres munis d'un indice
$$
\begin{array}{c}

1_1 \\

1_1 \quad 1_2 \\

1_1 \quad 3_2 \quad 2_3 \\

1_1 \quad 7_2 \quad 12_3 \quad 6_4 \\

1_1 \quad 15_2 \quad 50_3 \quad 60_4 \quad 24_5

\end{array}
$$
où tout nombre est obtenu comme dans le triangle de Pascal, à la différence près que les deux de la ligne précédente sont multipliés par leur indice avant d'être ajoutés (et avec une convention à peu près claire pour le premier et le dernier nombre d'une ligne). Par exemple, les trois nombres non extrémaux de la cinquième ligne sont obtenus par $1\times1+2\times7$, $2\times7+3\times 12$, $3\times12+4\times6$.
Pour tout $n\in\N^*$, nous avons :
$$
\begin{array}{c}
s_{0,n}=1\binom{n}{1}\\
s_{1,n}=1\binom{n}{1}+1\binom{n}{2}\\
s_{2,n}=1\binom{n}{1}+3\binom{n}{2}+2\binom{n}{3}\\
s_{3,n}=1\binom{n}{1}+7\binom{n}{2}+12\binom{n}{3}+6\binom{n}{4}\\
s_{4,n}=1\binom{n}{1}+15\binom{n}{2}+50\binom{n}{3}+60\binom{n}{4}+24\binom{n}{4}\\
\end{array}
$$

On peut vérifier que ça marche pour les autres $s_{p,n}$.