KK-théorie de Kasparov

Bonjour à tous
D'abord, avant de commencer à lire la suite du message, je vous envoie au document inséré ci-joint, page, $36$, pour lire les deux paragraphes intitulés : The Kasparov product et The Kasparov descent map, qui vous aidera à comprendre de quoi je parle.

Soit $ G $ un groupe topologique discret, ou un groupe topologique localement compact, Hausdorff et ''second countable''.
Soit $ K $ et $ H $ deux sous-groupes de $ G $ tels que $ K \subset H $.
On considère les deux morphismes de groupes suivants,
$$ f_j \ : \ KK_{H}^j ( C_{r}^{*} ( K,A) , C_{r}^{*} ( K,B) ) \ \to \ KK_{K}^0 ( C_{r}^{*} ( K,B) , C_{r}^{*} ( H,A) ) \otimes KK_{K}^j ( C_{r}^{*} ( H,A) , C_{r}^{*} ( H,B) )
$$ et
$$ g_j \ : \ KK_{K}^0 ( C_{r}^{*} ( K,B) , C_{r}^{*} ( H,A) ) \otimes KK_{K}^j ( C_{r}^{*} ( H,A) , C_{r}^{*} ( H,B) ) \ \to \ KK_{K}^j ( C_{r}^{*} ( K,B) , C_{r}^{*} ( H,B) ) .
$$ On a, $ g_j \circ f_j $ est un morphisme de groupes, avec, $ j= 0, 1 $.
Comment calculer le noyau $ \ker \ ( g_j \circ f_j ) $ pour $ j = 0 , 1 $ ?

Merci infiniment.