Clôture algébrique

lapurge
lapurge
dans Algèbre
Bonsoir à tous
Je dois trouver la clôture algébrique de chacun des corps suivants :
$ K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ L=\mathbb{Q}(i)$ dans $\mathbb{C}$
Partant de la définition
$$ \overline{K}=\{\alpha \in \mathbb{C}\mid \alpha \,\mbox{algébrique sur } K\}$$
$$ Existe-t-il une forme close ? Si oui juste une indication.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est difficile de donner une indication sans casser l'exercice, je trouve. Alors je vais plutôt te poser une question : connais-tu la clôture algébrique de $\Q$ ? Dans le sens, aurais-tu le droit à y faire référence dans ta solution à l'exercice ?
  • lapurge
    lapurge
    Je vois $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \overline{\mathbb{Q}}$
    $$ \overline{\mathbb{Q} }\subset \overline{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\subset \overline{\mathbb{Q}} $$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    En y réfléchissant un peu plus, l'exercice n'est pas forcément évident.

    J'ai un petit problème avec tes réunions, parce que quand tu définis $\overline{K}$, tu prends $\alpha$ algébrique, mais après tu prends la réunion pour $\alpha$ quelconque... étourderie ? Je n'ai jamais vu ça comme définition, en tout-cas.

    EDIT : j'ai enlevé ce que j'avais écrit parce que laisse tomber.
  • Poirot
    Poirot
    Si $\alpha$ est un nombre complexe algébrique sur $\mathbb Q$, est-il algébrique sur $K$ et $L$ ? Que penser de la réciproque ?
  • lapurge
    lapurge
    Merci @Poirot
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