Dimension d’un espace vectoriel
Bonjour,
J’ai lu dans un énoncé que la dimension de l’espace vectoriel des suites (un) vérifiant :
U(n+1)=n(u(n)+u(n-1)) pour n>=1 est égale à 4 , quelqu’un d’´autre m’a proposé 2 comme réponse. Sincèrement je ne vois pas pourquoi 4 ou 2, je n’arrive pas à détecter une base de cet espace. Pourriez-vous m’éclairer à ce sujet.
Merci d’avance.
J’ai lu dans un énoncé que la dimension de l’espace vectoriel des suites (un) vérifiant :
U(n+1)=n(u(n)+u(n-1)) pour n>=1 est égale à 4 , quelqu’un d’´autre m’a proposé 2 comme réponse. Sincèrement je ne vois pas pourquoi 4 ou 2, je n’arrive pas à détecter une base de cet espace. Pourriez-vous m’éclairer à ce sujet.
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Réponses
Combien de "degrés de liberté" as-tu pour complètement déterminer une telle suite ?
Puis, en cas d’espaces vectoriels - sur le corps à définir (souvent $\mathbb R$ ou $\mathbb C$) - il y a des choses à vérifier, donc… on parle ensuite de bases, puis de dimension.
Édit : dans ce sens, Magnéthorax, oui mais n’est-ce pas l’autre sens que l’on vient de « voir » ?
Je sens qu’il y a un truc plus fin que je ne vois pas.
-- Schnoebelen, Philippe
Après avoir fait ce que te signale NP, prends 3 suites, et vérifie qu'elles forment une famille liée.
Te disant ça, je ne t'aide pas, mais te fais juste remarquer les définitions et théorèmes admis que tu as "censément" en ta possession s'il s'agit d'une routine.
Pour avoir une base de l'espace, tu les mets tous à $0$ sauf un que tu mets à $1$.
Ça marche dans plusieurs situations.
Ici, « tous » c'est juste deux; et tu prendras donc les deux suites de ton espace : $a=(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $b=(b_n)_{n \in \mathbb N}$, définies par $a_0=1$, $a_1=0$, $b_0=0$, $b_1=1$, et tu pourras voir que $(a,b)$ est une base de cet espace.
Ces deux suites sont même répertoriées : https://oeis.org/A001053, https://oeis.org/A001040.
Bon courage.
Fr. Ch.
J'appelle $S$ le $\mathbf{C}$-sev solution des suites vérifiant la relation. Soient $(\phi_{n})$ et $(\psi_{n})$ deux solutions de $S$ qu'on peut choisir linéairement indépendantes. Soit $(u_{n}) \in S$. Peut-on trouver $\lambda, \mu \in \mathbf{C}$ tels que $u_{n}= \lambda \phi_{n} + \mu \psi_{n}$ ? A voir avec les conditions initiales.
Soit $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Soient deux suites de $\mathbb K$ : $(\mu_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(\xi_n)_{n \in \mathbb N}$, et soit $\mathcal S$ l'ensemble des suites $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ de $\mathbb K$ telles que:
$\forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = \mu_n u_{n+1}+\xi_n u_n$.
Comme j'ai dit dans mon précédent message, on prouve sans mal que $\mathcal S$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension 2, dont une base est constituée des deux suites $a=(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $b=(b_n)_{n \in \mathbb N}$, définies par $a_0=1$, $a_1=0$, $b_0=0$, $b_1=1$.
Si l'on veut « muscler » la démonstration, on peut dire que l'application : $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \mapsto (u_0,u_1)$, $\mathcal S \rightarrow \mathbb K^2$, est un isomorphisme de $\mathbb K$-espaces vectoriels, mais on peut aussi faire « à-la-main ».
Pour toute suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathcal S$, on a, pour tout $n \in \mathbb N$ : $u_n=u_0 a_n +u_1 b_n $.
Autrement dit, les coordonnées de la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathcal S$ dans la base $(a,b)$ sont $ (u_0,u_1)$.
Bien sûr ça se généralise à toute dimension finie.
Bonne continuation.
Fr. Ch.
Partmi ces suites, celle qui commence par $u_0=1$ et $u_1=0$, que j'ai dénommée $a_n$ dans mon précédent message, est en fait le nombre de dérangements d'un $n$-ensemble : $\displaystyle d_n= n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $, https://oeis.org/A000166.
Il est remarquable d'observer que la suite $u_n=n!$ satisfait à la récurrence proposée. Elle est définie par : $u_0=1,u_1=1$. C'est la suite $a_n+b_n$, avec mes notations.
Toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence proposée s'exprime donc comme : $u_n=u_0 d_n+ u_1 (n!-d_n)$,
où $\displaystyle d_n= n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$.
Comme il est bien connu que $\displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}=\frac1e$, on peut en déduire un équivalent simple de $u_n$, un peu plus caché si $u_0+(e-1)u_1=0$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Si $u_0+(e-1)u_1 \neq 0$, alors, quand $n \rightarrow +\infty$, $u_n \sim \frac{n!}e (u_0+(e-1)u_1)$. Limite infinie « explosive ».
Si $u_0 \neq 0$ et $u_0+(e-1)u_1 =0$, alors, quand $n \rightarrow +\infty$, $u_n \sim \frac{(-1)^n}n \cdot \frac e{e-1} u_0$. Limite $0$ lentement.
Ça marche aussi dans le cas complexe.
Sauf bien sûr erreurs de calcul.
Bonne journée.
Fr. Ch.