Dimension d’un espace vectoriel

Les « degrés de liberté », ce sont les « choses » qui permettent de connaître toute la suite. Il en faut 2, donc.

Puis, en cas d’espaces vectoriels - sur le corps à définir (souvent $\mathbb R$ ou $\mathbb C$) - il y a des choses à vérifier, donc… on parle ensuite de bases, puis de dimension.

Édit : dans ce sens, Magnéthorax, oui mais n’est-ce pas l’autre sens que l’on vient de « voir » ?
Je sens qu’il y a un truc plus fin que je ne vois pas.

Il faut quand même démontrer que tu as bien un sous-espace vectoriel.

L'idée de Magnéthorax des « degrés de liberté » fournit la bonne heuristique. Chaque suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb N}$ de l'espace est déterminée par le couple $(u_0,u_1)$ : deux degrés de liberté.
Pour avoir une base de l'espace, tu les mets tous à $0$ sauf un que tu mets à $1$.
Ça marche dans plusieurs situations.
Ici, « tous » c'est juste deux; et tu prendras donc les deux suites de ton espace : $a=(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $b=(b_n)_{n \in \mathbb N}$, définies par $a_0=1$, $a_1=0$, $b_0=0$, $b_1=1$, et tu pourras voir que $(a,b)$ est une base de cet espace.
Ces deux suites sont même répertoriées : https://oeis.org/A001053, https://oeis.org/A001040.
Bon courage.
Fr. Ch.

Oups, j'ai mal lu, mais ça ne change rien.
Soit $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Soient deux suites de $\mathbb K$ : $(\mu_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(\xi_n)_{n \in \mathbb N}$, et soit $\mathcal S$ l'ensemble des suites $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ de $\mathbb K$ telles que:
$\forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = \mu_n u_{n+1}+\xi_n u_n$.
Comme j'ai dit dans mon précédent message, on prouve sans mal que $\mathcal S$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension 2, dont une base est constituée des deux suites $a=(a_n)_{n \in \mathbb N}$ et $b=(b_n)_{n \in \mathbb N}$, définies par $a_0=1$, $a_1=0$, $b_0=0$, $b_1=1$.
Si l'on veut « muscler » la démonstration, on peut dire que l'application : $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \mapsto (u_0,u_1)$, $\mathcal S \rightarrow \mathbb K^2$, est un isomorphisme de $\mathbb K$-espaces vectoriels, mais on peut aussi faire « à-la-main ».
Pour toute suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathcal S$, on a, pour tout $n \in \mathbb N$ : $u_n=u_0 a_n +u_1 b_n $.
Autrement dit, les coordonnées de la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathcal S$ dans la base $(a,b)$ sont $ (u_0,u_1)$.
Bien sûr ça se généralise à toute dimension finie.
Bonne continuation.
Fr. Ch.

Et celle de ces suites qui commence par $u_0=0$ et $u_1=1$, que j'ai appelée $b_n$, est le nombre de « non-dérangements », autrement dit le nombre de permutations d'un $n$-ensemble ayant au moins un point fixe : https://oeis.org/A002467. Ainsi : $b_n=n! - a_n$.
Il est remarquable d'observer que la suite $u_n=n!$ satisfait à la récurrence proposée. Elle est définie par : $u_0=1,u_1=1$. C'est la suite $a_n+b_n$, avec mes notations.
Toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ satisfaisant à la relation de récurrence proposée s'exprime donc comme : $u_n=u_0 d_n+ u_1 (n!-d_n)$,
où $\displaystyle d_n= n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$.
Comme il est bien connu que $\displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}=\frac1e$, on peut en déduire un équivalent simple de $u_n$, un peu plus caché si $u_0+(e-1)u_1=0$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.