Bijections entre G et son dual
Je tente de résoudre ces deux exercices parus dans un article de la Revue de Mathématiques Spéciales (année 2017) : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini et principes d’incertitude par Nicolas Tosel.
Je précise les notations et définitions adoptées par l’auteur et la manière dont j’ai traité le problème $5$.
$(G,+)$ est un groupe $\textbf{abélien fini}$. Soit $\widehat{G}$ son groupe dual i.e. le groupe des homomorphismes de $G$ vers $\mathbb{C}^*$ dont l’ordre est égal à celui de $G$.
Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et l’application $f:\: H \mapsto H^{\bot}$, où $H^{\bot}$ désigne l’ensemble des caractères de $G$ qui sont triviaux sur $H$ :
\begin{equation}
\displaystyle f(H)=H^{\bot}=\{\chi \in \widehat{G} \mid H \subset \ker(\chi)\}=\{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(h)=1 ,\ \forall h \in H \}.
\end{equation} Enfin, comme mentionné dans l’énoncé de l’exercice $5$, si $Y$ est une partie de $\widehat{G}$, on note $Y^\circ$ le sous-groupe de $G$ défini par $\displaystyle Y^\circ=\bigcap_{\chi \in Y} \ker(\chi)$.
Ce n’est pas clairement dit dans l’article mais j’ai cru comprendre que l’auteur désignait par $K$, le sous-groupe $H^{\bot}$ du groupe dual $\widehat{G}$ lequel sous-groupe consistant en l’ensemble des caractères de $G$ dont le noyau contient $H$.
Je trouve cette double notation source de confusion car elle laisse à penser que $K$ est distinct de $H^{\bot}$ alors qu’ils sont identiques !
À moins que je n’ai rien compris à l’exercice $5$ !
Je fais l’hypothèse optimiste que j’ai raison et quitte à alourdir un peu l’écriture, je remplace donc $K$ par $H^{\bot}$ et $K^\circ$ par $(H^{\bot})^\circ$.
Soit donc l’application $g:\: H^{\bot} \mapsto (H^{\bot})^\circ$, où $(H^{\bot})^\circ$ désigne le sous-groupe de $G$ suivant :
\begin{equation}
\displaystyle g(H^{\bot})=(H^{\bot})^\circ=\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)=\{g \in G\mid \chi(g)=1,\ \forall \chi \in K\}
\end{equation}
$\textbf{Principe d’une solution}$. Montrer que $H’=g(f(H))=H$. En déduire que $g \circ f$ est l’$\textbf{application identité}$.
Montrer par dualité qu’il en est de même pour $f \circ g$.
Je ne sais pas si tout cela est très clair.
Auriez-vous une idée pour l’exercice $6$ ?
En vous remerciant pour d’éventuelles suggestions.
…
Je précise les notations et définitions adoptées par l’auteur et la manière dont j’ai traité le problème $5$.
$(G,+)$ est un groupe $\textbf{abélien fini}$. Soit $\widehat{G}$ son groupe dual i.e. le groupe des homomorphismes de $G$ vers $\mathbb{C}^*$ dont l’ordre est égal à celui de $G$.
Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et l’application $f:\: H \mapsto H^{\bot}$, où $H^{\bot}$ désigne l’ensemble des caractères de $G$ qui sont triviaux sur $H$ :
\begin{equation}
\displaystyle f(H)=H^{\bot}=\{\chi \in \widehat{G} \mid H \subset \ker(\chi)\}=\{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(h)=1 ,\ \forall h \in H \}.
\end{equation} Enfin, comme mentionné dans l’énoncé de l’exercice $5$, si $Y$ est une partie de $\widehat{G}$, on note $Y^\circ$ le sous-groupe de $G$ défini par $\displaystyle Y^\circ=\bigcap_{\chi \in Y} \ker(\chi)$.
Ce n’est pas clairement dit dans l’article mais j’ai cru comprendre que l’auteur désignait par $K$, le sous-groupe $H^{\bot}$ du groupe dual $\widehat{G}$ lequel sous-groupe consistant en l’ensemble des caractères de $G$ dont le noyau contient $H$.
Je trouve cette double notation source de confusion car elle laisse à penser que $K$ est distinct de $H^{\bot}$ alors qu’ils sont identiques !
À moins que je n’ai rien compris à l’exercice $5$ !
Je fais l’hypothèse optimiste que j’ai raison et quitte à alourdir un peu l’écriture, je remplace donc $K$ par $H^{\bot}$ et $K^\circ$ par $(H^{\bot})^\circ$.
Soit donc l’application $g:\: H^{\bot} \mapsto (H^{\bot})^\circ$, où $(H^{\bot})^\circ$ désigne le sous-groupe de $G$ suivant :
\begin{equation}
\displaystyle g(H^{\bot})=(H^{\bot})^\circ=\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)=\{g \in G\mid \chi(g)=1,\ \forall \chi \in K\}
\end{equation}
$\textbf{Principe d’une solution}$. Montrer que $H’=g(f(H))=H$. En déduire que $g \circ f$ est l’$\textbf{application identité}$.
Montrer par dualité qu’il en est de même pour $f \circ g$.
Je ne sais pas si tout cela est très clair.
Auriez-vous une idée pour l’exercice $6$ ?
En vous remerciant pour d’éventuelles suggestions.
…
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Réponses
Pour l'exercice $6$, le plus simple est de commencer par deviner quel va être l'isomorphisme en question. Dans le sens $H^{\perp} \to \widehat{G/H}$ ça me semble plus facile à voir. Ensuite il ne reste plus qu'à montrer qu'il s'agit bien d'un isomorphisme.
Je ne vais pas toucher au premier post et je vais rédiger une seconde solution.
Je suis preneur pour d’autres remarques ou critiques.
…
\begin{equation}
\displaystyle H^{\bot}=\{\chi \ \in \widehat{G}\mid H \subseteq \ker(\chi)\}
\end{equation} est bel et bien une bijection entre l’ensemble de tous les sous-groupes de $G$ et celui de tous les sous-groupes de $\widehat{G}$.
La démonstration de ce fait n’est pas du tout immédiate bien qu’élémentaire ! Elle repose sur l’existence d’un isomorphisme entre $G$ et le dual du dual de $G$. On m’a signalé que l’exercice figurait dans l’ouvrage de Serre : Représentations linéaires des groupes finis.
Je ne vois pas comment démontrer la bijection réciproque qui, à un sous-groupe $K$ de $\widehat{G}$, associe $K^°$.
…
$$\forall H < G, \qquad \bigcap_{\chi \in H^{\perp}} \ker(\chi)=H .
$$ Or c'est justement l'énoncé de la proposition 2 que tu envoies.
On justifie facilement que cette intersection contient $H$.
Chacun des caractères $\chi$ contenus dans $H^{\bot}$ vérifie $\chi(h)=1$ pour tout $h \in H$.
Ce qui est équivalent au fait que, pour un $h \in H$ donné, $\chi(h)=1$ pour tout $\chi \in H^{\bot}$.
L’ensemble $\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)$ étend l’intersection des noyaux à tout le groupe $G$ (et plus uniquement à $H$).
Il est donc clair qu’il contient $H$.
…
…
D'ailleurs c'est intéressant car le principe de Dohono-Stark dont il est question dans l'article pourrait se généraliser ;
en effet, l'auteur utilise seulement la minoration :
$$\left | \int_{G} f(x) \mathrm d\mu(x) \right | \le \Vert f \Vert_{\infty} \mu(S(f)),
$$ et la formule d'inversion de Fourier. Donc tout groupe ayant une bonne structure $L^\infty$ et vérifiant une formule d'inversion de Fourier serait un bon candidat.
Quelques éléments (incomplets) de réponse.
$\chi:\: G \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ est un homomorphisme de groupes.
On sait que pour tout $\chi \in H^{\bot} \subseteq \widehat {G}$, $H \subseteq \ker(\chi)$.
Le $\textbf{premier théorème d’isomorphisme}$ permet de déduire l’existence d’un isomorphisme $\tilde{\chi}:\: G/H \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ (bien) définie par
\begin{equation}
\tilde{\chi}(gH):=\chi(g), \: \: g \in G.
\end{equation}
Inversement, pour tout $\tilde{\chi}:\:G/H \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$, on a $\chi=\tilde{\chi} \circ \pi \in H^{\bot}$ avec $\pi:\:G \longrightarrow G/H$ surjective.
On en déduit, par dualité, que $F_{H}: \: H^{\bot} \subseteq \widehat{G} \longrightarrow \widehat{G/H}$ définie par $F_H(\chi):=\tilde{\chi}$ est un homomorphisme surjectif.
De plus, $F_H$ est injective: si $\chi=\psi$, $\tilde{\chi}=\tilde{\psi}$.
Donc $F_H$ est un isomorphisme et $\vert H^{\bot}\vert= \vert \widehat{G/H}\vert= \vert G/H \vert$.
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Il est rare que l’image d’un groupe par un homomorphisme soit la totalité du groupe cible.
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Si l’on restreint l’image de $\chi$ au groupe $\mu_n$ des racines $n$-ième de l’unité, sous-groupe fini et cyclique de $\mathbb{C}^{\times}$, on a bien $\chi(g) \subset \mu_n$ pour tout $g \in G$.
Mais est-ce qu’on « récupère » un homomorphisme surjectif de $G$ vers $\mu_n$ ?
PS : il n’y a pas de « restriction » à faire puisque tous les caractères linéaires complexes de $G$ vérifient $\vert \chi(g) \vert =1,\ g \in G$.
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$G$ est un groupe abélien fini d’ordre $n$. Le caractère $\chi$ envoie un élément de $g \in G$ sur une puissance de $e^{
\frac{2\pi i}{n}}$. Donc $\chi(g)$ est une racine $n$-ième de l’unité pour tout $g \in G$.
Je pensais qu’une condition d’application du premier théorème d’isomorphisme était que $\chi$ soit un homomorphisme surjectif.
Or, il faut juste que l’image de $\chi$ soit un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes non-nuls.
C’est bien le cas puisque $\chi$ est un isomorphisme entre $G$ et le groupe des racines $n$-ième de l’unité dans $\mathbb{C}$.
Si $k$ est un corps dont la caractéristique ne divise pas l’ordre $n$ de $G$, alors tout homomorphisme $G \longrightarrow k^{\times}$ a pour image le groupe abélien fini des racines $n$-ième de l’unité dans $k$.
Concernant le morphisme trivial, son noyau est $G$.
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Tu répètes la même erreur, $\chi$ n'est pas, en général, un isomorphisme entre $G$ et le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité, il n'a aucune raison d'être surjectif.
Ben non, à nouveau ce n'est pas le cas du caractère trivial par exemple (sauf si $n=1$ bien sûr). L'image est toujours incluse dans le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité mais n'a aucune raison d'être tout ce groupe. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi tu persistes dans cette erreur basique.
Ce qui me gêne dans cette histoire, c’est la taille des ensembles d’arrivée. Je ne comprends pas pourquoi on prend $k=\mathbb{C}$ alors que, dans bien des cas, un corps de caractéristique $0$ contenant toutes les racines $n$-ième de l’unité suffit largement !
Mais ça ne change rien au fait que pour un caractère $\chi$ donné, son image n’est pas, en général, tout le groupe $\mu_n(k)$.
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Tout élément de $\mu_n(k)$ est l’image par un certain $\chi \in \widehat{G}$ d’un certain $g \in G$.
De plus, les groupes $G$ et $\widehat{G}=\text{Hom}(G,\mu_n(k))$ sont isomorphes.
Est-ce que ça, c’est vrai ?
…
Je cherche un exemple simple et concret où, malgré tout, l’image d’un caractère $\chi$ est tout le groupe des racines de l’unité.
Si je prends le groupe cyclique $G=(\mathbb{Z}_6,+)$: ses générateurs sont $[1]$ et $[5]$ et ses $6$ éléments $[0],[1],…[5]$ sont autant de classes de conjugaison.
Il y a donc bien $\vert G \vert =6$ caractères linéaires pour $G$ définis par
\begin{equation}
\chi_m([j])=\zeta_6^{jm}, \:\:0 \leq m \leq 5, \: \: 0 \leq j \leq 5
\end{equation}
où $\zeta_6=e^{\frac{2i\pi}{6}}$ est une racine primitive sixième de l’unité.
Ils forment le groupe dual $\widehat{G}$ isomorphe à $G$.
Si $m=5$, l’image de l’homomorphisme (surjectif pour le coup), $\chi_m([j])$, est l’ensemble des racines sixièmes de l’unité.
…
Ce que tu dis dans ce message est vrai, car un groupe abélien fini d'exposant $n$ admet toujours un élément $g$ d'ordre $n$. Il suffit alors de montrer l'existence d'un caractère envoyant cet élément sur une racine primitive $n$-ième de l'unité. Or, en définissant de manière évidente un caractère de $\langle g \rangle$ par $g \mapsto \zeta_n$ (où $\zeta_n$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité dans $k$), le lemme de prolongement des caractères permet d'en déduire l'existence du caractère de $G$ recherché.
Pour l'isomorphisme entre $G$ et $\hat G$, c'est effectivement vrai (de manière non canonique). On peut l'obtenir très facilement si on dispose du théorème de structure des groupes abéliens finis, car un groupe cyclique est facilement isomorphe à son dual, et le dual d'un produit (fini) est isomorphe au produit des duals (et pas duaux !).