CNS pour avoir une infinité d'hyperplans

topopot · August 2021

Soient $\K$ un corps quelconque et $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension quelconque.

Donner une CNS pour que $E$ admette une infinité d'hyperplans.

Pouvez-vous me dire si mon raisonnement ci-dessous est correct :

1) Il est équivalent de chercher une CNS pour que $E$ admette une infinité de droites (on le vérifie à l'aide de la caractérisation "existence d'une droite supplémentaire").
2) On vérifie que si $\mathrm{dim}(E)\geqslant 2$ avec $\K$ infini alors $E$ admet une infinité de droites (et donc une infinité d'hyperplans d'après 1)).
3) De plus :

si $\mathrm{dim}(E)<2$ alors $E$ admet un nombre fini de droites quelque soit $\K$.
si $E=\K=\Z/2\Z$, alors $E$ est de dimension $2$ et n'admet aucune droite.

4) D'où la CNS cherchée :
$$[\mathrm{dim}(E)\geqslant 2\text{ et }\K\text{ infini }].$$

[Utilisateur supprimé] · August 2021

Je n'y connais rien, mais en attendant que quelqu'un t'en dise plus: je pense qu'il y a un petit couac dans le raisonnement logique derrière le deuxième point du 3. Tu sembles faire une disjonction de cas, donc devoir regarder ce qui se passe lorsque $K$ est fini.
Tu as regardé sur un exemple, mais que dire si $E$ est de dimension finie $n$ ? Et de dimension infinie ? (Par exemple quelque chose comme $\mathbb{F}_{p}[X]$ ?)

Frédéric Bosio · August 2021

Ta condition n'est pas correcte. Si $\K $ est fini et $E$ de dimension infinie, $E$ contient bien une infinité de droites (et d'hyperplans, l'équivalence entre les deux est correcte).