Calcul d'un déterminant
dans Algèbre
Bonjour
merci d'aider de calculer le déterminant de cette matrice d'ordre $N\times N$.
déterminant $M$ en fonction de $N$ ???
$$
M_{N,N}=\left(\begin{array}{cccccc}
3 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
-1 & 3 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & -1 & 3 & -1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 3
\end{array}\right)
$$
merci d'aider de calculer le déterminant de cette matrice d'ordre $N\times N$.
déterminant $M$ en fonction de $N$ ???
$$
M_{N,N}=\left(\begin{array}{cccccc}
3 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
-1 & 3 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & -1 & 3 & -1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 3
\end{array}\right)
$$
Réponses
-
Bonjour,
as-tu réussi calculer ce déterminant pour N=1, N=2 et N=3 ? Est-ce que ça t'inspire une relation entre les déterminants ? Et si on développe suivant une ligne ou une colonne ? Laquelle choisir ? -
Dans ce genre de determinant l'astuce est de remplacer les 3 de la diagonale par des $2\cos t$ et le determinant $D_n(t)$ est une fonction sympathique de $t$ que tu vas decouvrir en trouvant la relation entre $D_{n-2}, D_{n-1}, D_n.$
-
Oui ce qui j'ai fait exactement, je trouve
\begin{align*}
\det(M_{3,3})&=3*8-3=21 \\
\det(M_{4,4})&=3\det(M_{3,3})-8 \\
\det(M_{5,5})&=3\det(M_{4,4})-\det(M_{3,3}) \\
\det(M_{6,6})&=3\det(M_{5,5})-\det(M_{4,4}) \\
\vdots
\end{align*} -
@Bouallagui Zied d’abord chercher suffisamment, si tu ne trouves pas regarde
voir la réponse de Najib Idrissi -
Bonjour
Calculer le déterminant revient à chercher les valeurs propres de M. (Le déterminant est le produit des valeurs propres).
Soit $X=(x_1,\ldots,x_N)^t$ un vecteur propre de valeur propre $a\in \R.$ Trouver a, revient à résoudre le système
$$
-x_{i-1}+(3-a) x_i-x_{i+1}=0,\quad i=1,\ldots,N,\qquad \text{où }x_0=x_{N+1}=0.
$$ Il est facile de voir que $x_1\neq 0$ (sinon $X=0$) et alors on peut supposer $x_1=0$.
La suite $(x_n)$ est donc définie par récurrence grâce à ses 2 premiers termes $x_0=0$ et $x_1=1.$
On peut donc exprimer $x_n$ en fonction de $n$, et $a$. En particulier la condition $x_{N+1}=0 $ donnera les valeurs propres. Faire les calculs... rien de compliqué... -
Ton déterminant est celui d'une matrice symétrique...
-
Pas besoin d'astuce ici, quand il y a plein de zéros c'est très souvent une bonne idée de développer selon une ligne ou une colonne, on trouve une relation de récurrence, et hop.
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Bonjour!
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