Polynôme

Effectivement, si un polynôme convient, c'est le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré inférieur ou égal à $n-1$ passant par les $n$ points $(k,3^k-(-1)^{n-k})$ pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
On l'exprime sous la forme usuelle : \[P_n=\sum_{k=0}^{n-1}(3^k-(-1)^{n-k})\prod_{\underset{j\neq k}{j=0}}^{n-1}\frac{X-j}{k-j}\] et on vérifie que \[\begin{align}P_n(n)&=\sum_{k=0}^{n-1}(3^k-(-1)^{n-k})\prod_{\underset{j\neq k}{j=0}}^{n-1}\frac{n-j}{k-j}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}(3^k-(-1)^{n-k})\frac{n!}{(n-k)\times k! (-1)^{n-k-1}(n-k-1)!} \\
&=\sum_{k=0}^{n-1}(3^k-(-1)^{n-k})(-1)^{n-k-1}\binom{k}{n} \\
&=-((3-1)^{n}-3^{n})+(2^{n}-1) \\
&=3^n-(-1)^{n-n}
\end{align}\]
CQFD

Une autre façon de l'écrire est de considérer le polynôme d'interpolation de Lagrange passant par les $n+1$ points $(k,3^k-(-1)^{n-k})$ pour $k\in\{0,\dots,n\}$ et de constater qu'il est de degré strictement plus petit que $n$. Le calcul est similaire mais plus difficile à visualiser.