Produit tensoriel d'espaces de fonctions

De plus, l'application ci-dessus est linéaire et injective. En effet, dans l'écriture de l'élément du produit tensoriel $\sum_i f_i \otimes g_i$, on peut supposer que la famille $(g_i)$ est libre dans $C(Z)$. Donc, si la fonction $(x,z) \mapsto \sum_i
f_i(x)g_i(z)$ est la fonction nulle, alors, pour tout $a \in X$, la fonction $z \mapsto \sum_i f_i(a) g_i(z)$ est la fonction nulle. Comme la famille $(g_i)$ est libre, on a $f_i(a)=0$ pour tout $i$. C'est valable pour tout $a \in X$. Donc, pour tout $i$ $f_i=0$, donc $\sum_i f_i \otimes g_i=0$. Donc l'application est injective.

Par "topographique", veux-tu dire "topologique" ? Si oui, alors si les $f_i$ sont continues de $X$ dans $\R$ ou $\C$, et les $g_i$ continues de $Z$ dans $\R$ ou $\C$, alors la fonction de $X \times Z$ dans $\R$ ou $\C$ qui à $(x,z)$ associe $\sum_{i=1}^n f_i(x)g_i(z)$ est aussi continue (pour la topologie produit sur $X \times Z$).

Tout élément $e$ du produit tensoriel s'écrit sous la forme $\sum_{i=1}^n f_i \otimes g_i$ pour un certain $n$ (qui n'est pas unique et qui dépend de $e$).

@mehdi: c'est valable pour tous espaces topologiques $X$ et $Z$.