Autour de la transposée ${}^tu$

topopot
topopot
dans Algèbre
Salut
Connaissez-vous des propriétés/résultats sympas/intéressants/tautologiques (je prends tout !) qui tournent autour de la notion d'application transposée d'une application linéaire ? J'ai pensé regarder sur des vieux livres de prépas mais il n'y a en fait pas grand chose, pourtant à cette époque il y a du avoir un certain nombre d'énoncés de concours sur le sujet (notamment avec des choses sur le quotient, la dualité, la réduction, les hyperplans, drapeaux, etc.).

Ce que je connais déjà.
  1. ${}^tu$ est linéaire.
  2. ${}^t(\mathrm{Id}_E)=\mathrm{Id}_{E^*}$.
  3. Noyau et image de ${}^tu$ en fonction des noyaux et des images de $u$.
  4. Application transposition $T:u\mapsto{}^tu$, linéaire et injective (bijective en dimension finie).
  5. $(u$ injective/surjective$)\Leftrightarrow({}^tu$ surjective/injective).
  6. ($F$ sous-espace stable par $u)\iff(F^{\perp}$ sous-espace stable par ${}^tu)$. Même chose avec l'autre sens d'orthogonalité.
  7. ${}^t(v\circ u)={}^tu\circ{}^tv$.
  8. $({}^tu)^{-1}= {}^t(u^{-1})$ lorsque $u$ isomorphisme.
  9. Lien avec la transposée d'une matrice.
Merci par avance pour votre contribution !

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je ne suis que novice.
    Mais peut-être peut-on distinguer les théorèmes qui sont spécifiques à la dimension finie ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    $u$ et ${}^tu$ sont semblables.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Chaurien
    Chaurien
    Je préfère la notation normalisée $u^{\mathbb T}$.
  • john_john
    john_john
    Si $F$ est un sev de $E$, si $i$ est l'inclusion canonique et $p$ un projecteur sur $F$, on a $^ti\circ\,^tp=Id_{F^*}$ ; si $E$ est de dimension finie, la formule du rang appliquée à $^ti$ montre alors que la somme des dimensions de $F$ et de $F^\bot$ est celle de $E$. La notation $F^\bot$ n'est sans doute pas standardisée : on préférera peut-être $F'$ ou $F^\circ$;
  • Dom
    Dom
    Dans ce cas, pour la notation, c’est plutôt «u^{\mathsf T}» :
    $$u^{\mathsf T}$$
    [small][Cher AD, je n’ai pas vu la correction, ou peut-être as-tu ajouté le « u^ ». Je viens d’ajouter les accolades. ][/small]
  • MrJ
    MrJ
    Si un espace vectoriel $E$ de dimension finie est muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, alors la notion d'adjoint d'un endomorphisme correspond à celle de transposée. Autrement dit, si $b:E\to E^\ast$ est l'isomorphisme induit par la forme bilinéaire, on a $u^\ast = b^{-1}\circ u^\textrm{T}\circ b$ pour tout $u\in\mathcal{L}(E)$.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Ou aussi u^\top :
    $$u^\top$$
  • Dom
    Dom
    Ha oui, tiens. Merci bien ! Je saisis les deux pour comparer.
    $$u^\top \qquad u^{\mathsf T}$$
  • topopot
    topopot
    Merci pour vos ajouts !

    Je me souviens vaguement d'un truc mais impossible de retrouver où j'ai lu ça.

    Étant donnée une application linéaire $u:E\rightarrow F$, il s'agissait sauf erreur de la suite $(v_n)_{n\in\N}$ définie par : $v_0=u$, $v_1=$$^{t(1)}u=$$^tu$ et pour tout $n\geqslant 2, v_n=$$^{t(n)}u=$$^{t}($$^{t(n-1)}u)$.

    La suite $(v_n)_{n\in\N}$ possède-t-elle des propriétés particulières ?
    - En dimension quelconque
    - En dimension finie
  • Dom
    Dom
    En dimension finie, n’a-t-on pas la suite $(u,u^{\top},u,u^{\top},…)$ ?
  • topopot
    topopot
    Oui, modulo les identifications entre les duaux et le biduaux.

    Je me demande en fait si l'on peut dire certains trucs un peu plus avancés.
  • Dom
    Dom
    Oui, c’est exact.
    D’ailleurs dès le début du fil j’ai dû me remettre à regarder la définition de « endomorphisme transposé » qui est plus difficile, je trouve, que « matrice transposée ». Et là c’est moi qui confonds un peu vite endomorphisme avec matrice.
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