Groupe topologique

Code_Name · August 2021

Bonjour, je débute avec les groupes topologiques, j'ai deux questions.

Soit $G$ un groupe topologique avec $H\subset G$ un ouvert. Soit $g\in G$. Pourquoi est-ce que $gH$ est ouvert ? Je ne vois pas laquelle des deux opérations continues permet de l'obtenir comme préimage...

Question similaire, pourquoi est-ce que $g^{-1}Hg$ est ouvert si $H$ l'est ? Merci.

Homo Topi · August 2021

$gH$ est l'image réciproque de $H$ par l'application $x \longmapsto g^{-1}x$, qui a la gentillesse d'être continue.

[Utilisateur supprimé] · August 2021

A mon avis, en notant $\varphi_{g}: h \mapsto gh$ la translation à gauche par $g$, alors $gH=\varphi_{g}(H)=\varphi^{-1}_{g^{-1}}(H)$.
Pour la conjugaison, c'est la même idée avec une translation à gauche, une à droite (et la continuité de l'inverse), non ?

Poirot · August 2021

C'est la même chose, mais dit autrement : $h \mapsto gh$ est un homéomorphisme (puisque son inverse est $h \mapsto g^{-1}h$) donc est en particulier une application ouverte.