Calcul dans un groupe

Bonjour.

On définit les notations classiques dans un groupe (je ne parviens pas à envoyer des images, ça met "image error").

(G,x) est un groupe avec une loi multiplicative.
Soient x un élément de G et n un entier relatif.
On note : $x^{0}=e$ ; $x^{n}=x^{n-1}x$ si $n>0$ et $x^{n}=(x^{-n})^{-1}$ si $n<0$.
Avec cela, on démontre que pour tous les entiers m et n : $x^{m+n}=x^{m}x^{n}$.

Voilà mon problème. Lorsque m et n sont positifs, on raisonne par récurrence. Lorsque m et n sont strictement négatifs on considère les opposés pour ce ramener au premier cas.
Cependant, lorsque m > 0 et n < 0, je ne parviens pas à justifier. L'auteur du livre donne une indication en traitant deux nouveaux cas ($m+n\geq 0$ et $m+n<0$).