Bonjour, soit $g:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ une isométrie: $\|gx\|=\|x\|$. Supposons que $g$ est surjective. Pourquoi est-ce que avec le produit scalaire usuel on a $\langle gx,gy\rangle = \langle x,y\rangle$? Merci.
nicolas.patrois : si tu définis "isométrie" par la simple condition $||gx|| = ||x||$, tu en as plein de non continues ! Et comme Code_Name précisait après "on suppose surjective", je me suis dit que ce n'était peut-être pas linéaire (une isométrie linéaire de $\mathbb R^n$ dans lui-même est automatiquement surjective)
Code_Name : dans ce cas là, est-ce que tu connais la formule de polarisation ? C'est une formule qui exprime $\langle x,y\rangle$ en termes de certaines normes (la norme de $x$, de $y$, de $x+y$)
N'essaye pas d'apprendre une formule par cœur, prouve-la, surtout que là c'est une ligne de calcul. Si tu trouves ça difficile, c'est une raison de plus pour faire encore plus de calcul pour te renforcer.
Réponses
(Si $g$ est linéaire, la surjectivité n'est pas à supposer)
Je suppose qu’il travaille avec la norme euclidienne.
-- Schnoebelen, Philippe
Code_Name : dans ce cas là, est-ce que tu connais la formule de polarisation ? C'est une formule qui exprime $\langle x,y\rangle$ en termes de certaines normes (la norme de $x$, de $y$, de $x+y$)