Cardinal d'un sous-espace engendré

Oui. C'est $\max(\mathrm{card}(A), \mathrm{card}(\mathbb R))$.

Tu devrais peut-être commencer par lire un cours sur l'arithmétique des cardinaux, c'est fait dans tout bouquin de théorie des ensembles.

Précision : ma formule ne marche pas si $A = \emptyset$ ou $A = \{0\}$. En supposant que ce n'est pas le cas, alors la minoration est évidente. Pour la majoration, il s'agit d'exploiter l'écriture des éléments de $\mathrm{Vect}(A)$ comme combinaisons linéaires d'éléments de $A$, le fait que si $A$ est infini alors $\mathrm{card}(\{J \subset A \mid J \text{ fini }\}) = \mathrm{card}(A)$ et enfin que $\mathrm{card}(A) \times \mathrm{card}(\mathbb R) = \max(\mathrm{card}(A), \mathrm{card}(\mathbb R))$.

C'est une erreur/incompréhension classique, mais en algèbre linéaire, il faut faire attention à ne pas confondre cardinal et dimension.

Si $K$ est un corps, les $K$-espaces vectoriels de dimension finie $n$ sont simplement les $K^n := K \times \dots \times K$, donc le cardinal de $K^n$ est infini dès que celui de $K$ l'est. Un espace vectoriel sur $\Q$, $\R$ et $\C$ (ou n'importe quel corps de cardinal infini) aura toujours un cardinal infini, même en dimension finie. C'est logique quand on voit ça comme un produit cartésien: il suffit de connaitre sa théorie des ensembles. Même ça, ça peut devenir technique (cf les remarques de Poirot sur l'arithmétique cardinale) mais pour l'instant, c'est secondaire.

Il existe cependant des espaces vectoriels de cardinal fini. Bien sûr, le corps de base doit être fini et la dimension de l'espace doit être finie également. On commence à rencontrer ça quand on travaille sur les extensions de corps et la théorie de Galois, mais j'imagine que mehdi n'en est pas encore là dans ses études.

Oui, Julian, et alors ?

Cordialement.