modules, algèbres

A-mod · November 2005

Bonjour,

Pour simplifier tous les anneaux dont je parle sont unitaires.

Je cherche a être sûr de mes définitions... Dans ma tête, si A est un anneau, un A-module c'est un groupe abélien avec une action de A dessus qui vérifie les propriétés de distributivité et d'associativité avec les scalaires.

Une A-algèbre avec A commutatif, c'est un anneau B non forcement commutatif avec un morphisme de A dans B dont l'image est incluse dans le centre de B. Ca m'a l'air d'être aussi un A-module... ?

Si A est un sous-anneau de B, j'imagine qu'un B-module est aussi un A-module et qu'une B-algèbre est aussi une A-algèbre ?

Si B et C sont des A-algèbres, B étant une sous-algèbre de C, est-ce que C est un B-module ?

Voilà voilà, si quelqu'un peut clarifier tout ça...
Merci

geo · November 2005

plus simple encore soit $A$ et $B$ deux anneaux

on dit que $B$ est une $A$- algèbre s'il existe un morphisme d'anneau de $A$ dans $B$

on dit que $M$ est un $A$ module à gauche si $M$ est un groupe abélien et si
il existe une loi externe de domaine opérateur $A$ vérifiant
les 4 axiomes suivants
$\forall (a,b)\in A²$ $ \forall x\in M$ $(a+b).x=a.x+b.x$
$\forall (a,b)\in A²$ $\forall x\in M$ $(a.b).x=a.(b.x)$
$\forall (a)\in A$ $\forall (x,y)\in M²$ $a.(x+y)=a.x+a.y$
$ \forall x\in M $ et $1_{A}\in A$ $1_{A}.x=x}$
idem à droite

remarque si $A$ est un corps on retrouve la def des espaces vectoriel
si $B$ est une A-algèbre alors c'est A-module

manuel · November 2005

Bon, désolé de chipoter sur ce qu'a dit geo, mais...

- Il est quand même utile d'avoir l'image de A contenue dans le centre de B, pour pas mal de choses. Ca va dépendre du contexte et de l'auteur, mais dans les trucs que je connais, c'est pas désagréable d'arriver dans le centre. On a aussi des defs plus faibles : une A algèbre est un A-module muni d'un forme bilinéaire.

- On dit que B est une A- algèbre s'il existe un morphisme d'anneau de A dans B... bon là vraiment du chipotage, mais je préfère dire "si B est munie d'un morphisme..." que "s'il existe..." : on peut avoir différentes structures d'algèbre sur un même anneau, de plus avec ce genre de définitons ("un ensemble est un goupe s'il existe une loi qui..."), bah tout ensemble est un groupe, donc en général je trouve ça une mauvaise habitude.

Après tout à fait d'accord que A-algèbre implique A-module.

"Si A est un sous-anneau de B, j'imagine qu'un B-module est aussi un A-module et qu'une B-algèbre est aussi une A-algèbre ?" Oui, mais en fait tu n'as même pas besoin que ce soit un sous-anneau : un morphisme A->B suffit à définir une structure de A-module sur tout B-module.

abdou garba · May 2006

je veux des reponses sur l'algèbre de terminale série A.

modules, algèbres

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