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Composition et multiplication des polynômes — Les-mathematiques.net
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Algèbre
Composition et multiplication des polynômes
Blanc
August 2021
dans
Algèbre
Bonjour
Réponses
Rescassol
August 2021
Bonjour,
Il suffit d'écrire ce que ça signifie.
Cordialement,
Rescassol
Poirot
August 2021
C'est assez immédiat : tu "remplaces le $X$ par $T$". Que tu distribues les coefficients avant ou après ne change pas le résultat.
OShine
August 2021
Bonsoir, j'ai réussi à le démontrer.
On pose $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k X^k$ où $n=\deg \ P$ et $m=\deg \ Q$.
Donc $P \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k$ et $Q \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k$
Ainsi $(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k \right) \left(\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k \right)$
Soit $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k}$
Il est évident que $(PQ) \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k$
On a montré que $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X) = (PQ) \circ T(X)}$
Blanc
September 2021
Ceci était à ma portée et vous remercie de ce coup de pouce. J'espère ne pas baisser les bras aussi vite une prochaine fois!
bisam
September 2021
Une méthode un peu plus algébrique consiste à dire que par bilinéarité du produit de polynôme, il suffit de le prouver lorsque $P$ et $Q$ sont des monômes... auquel cas, la propriété est évidente par propriété des puissances.
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Il suffit d'écrire ce que ça signifie.
Cordialement,
Rescassol
On pose $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k X^k$ où $n=\deg \ P$ et $m=\deg \ Q$.
Donc $P \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k$ et $Q \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k$
Ainsi $(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k \right) \left(\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k \right)$
Soit $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k}$
Il est évident que $(PQ) \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k$
On a montré que $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X) = (PQ) \circ T(X)}$