Intersection dans un groupe
Bonjour,
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels compris entre $0$ et $1$. Soit $E(\alpha,\beta)$ l'énoncé suivant: pour tout groupe $G$, il existe une partie $P\subset G$ telle que l'élément neutre de $G$ n'appartient pas à $P$, telle que $|P| \leq \alpha |G|$, et telle que, si $H$ est un sous groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$.
Est-ce que $E(1/2,1/2)$ est vrai ? Est-ce que $E(1/2,1/4)$ est vrai ?
Quelle est la borne inférieure du produit $\alpha \beta$ pour les couples $(\alpha, \beta)$ tels que $E(\alpha, \beta)$ est vrai ?
Merci d'avance.
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels compris entre $0$ et $1$. Soit $E(\alpha,\beta)$ l'énoncé suivant: pour tout groupe $G$, il existe une partie $P\subset G$ telle que l'élément neutre de $G$ n'appartient pas à $P$, telle que $|P| \leq \alpha |G|$, et telle que, si $H$ est un sous groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$.
Est-ce que $E(1/2,1/2)$ est vrai ? Est-ce que $E(1/2,1/4)$ est vrai ?
Quelle est la borne inférieure du produit $\alpha \beta$ pour les couples $(\alpha, \beta)$ tels que $E(\alpha, \beta)$ est vrai ?
Merci d'avance.
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Réponses
"Pour tout groupe $G$" dit que ça doit être le cas pour le groupe à un élément $\{e\}$. Dans ce cas, $P=\emptyset$ et la condition finale est toujours fausse.
Cordialement.
Il est vrai que j'aurais du écrire "... et telle que, pour tout sous-groupe $H$ de $G$, si $H$ est non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$".
Mais, ça ne prouve pas que la borne inférieure des $\alpha \beta$ est nulle.
On peut aussi se poser la question pour les groupes de cardinal suffisamment grand, c'est-à-dire que l'on définit, pour $0< \alpha<1, 0< \beta <1, n \in \N^*$, l'énoncé suivant $E(\alpha, \beta,n)$: pour tout groupe $G$ de cardinal supérieur ou égal à $n$, il existe une partie $P\subset G$ telle que l'élément neutre de $G$ n'appartient pas à $P$, telle que $|P| \leq \alpha |G|$, et telle que, si $H$ est un sous groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$.
Est-ce que $E(1/2,1/2,n)$ est vrai pour un certain $n\in \N^*$?
En effet, soit $G$ un groupe de cardinal $\geq 6$.
Supposons $G$ de cardinal pair. Alors, on choisit dans $G$ trois éléments distincts deux à deux et différents de l'élément neutre $x,y$ et $xy$. Ce qui est possible si le cardinal de $G$ est $\geq 4$. On construit une partie $P$ contenant $xy$, mais ni $x$, ni $y$, ni $e_G$, telle que le cardinal de $P$ soit $|G|/2$, ce qui est possible si $|G|\geq 6$.
Soit $H$ un sous-groupe de $G$ de cardinal $\geq |G|/2$, alors, si $P\cap H=\emptyset$, alors $H=G \setminus P$, donc $x,y \in H$ et donc $xy \in H$, or $xy \in P$, contradiction. Donc $P \cap H\neq \emptyset$.
Si $G$ est de cardinal impair, alors tout sous-groupe $H$ de cardinal $\geq |G|/2$ est égal à $G$, donc si $P\neq \emptyset$, $P \cap H\neq \emptyset$.