Isomorphisme et relations d'équivalence

Boécien
Boécien
dans Algèbre
Bonjour
Je me présente, je suis Boécien nouveau sur ce forum et véritable béotien en mathématique puisque je me suis mis à les réétudier l'an dernier. Ingénieur de formation j'envisage de passer un jour le CAPES externe.
Intéressé par des questions d'algèbre en ce moment et plutôt générales, je potasse le livre "Ensembles et structures" de Vuibert. À ce titre j'essaye de me poser d'autres problèmes que celui des livres niveau BAC-DEUG que je possède pour mieux comprendre les structures. Je commence aussi à suivre les vidéos de Gilles Bailly-Maitre que je trouve très bien.
Par exemple voici une question que je me pose en espérant qu'elle ait un sens et qu'elle ne soit pas triviale (ce qui est tout à fait possible). Elle vise à essayer de formaliser une idée que j'ai eue en mélangeant des exercices des chapitres I et II du livre ci-dessus et en furetant sur Internet où j'ai découvert d'autres structures comme les monoïdes ou les actions de groupes (basiques).

Soit $X$ et $Y$ deux ensembles isomorphes entre eux. Soit $\mathcal{R}_{x}$ et $\mathcal{R}_{y}$ deux relations d'équivalence sur $X$ et $Y$ respectivement. Soit $\left(U,\diamond\right)$ et $\left(V,\triangleright\right)$ deux monoïdes agissant sur $X$ et $Y$ respectivement et préservant les relations d'équivalence.
C'est-à-dire qu'on a $\forall\left(u,v\right)\in U\times V,\ \forall\left(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\right)\in X\times X\times Y\times Y$ :
$$x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Rightarrow\left(u\diamond x_{1}\right)\mathcal{\ R}_{x}\ \left(u\diamond x_{2}\right)
\\
y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Rightarrow\left(v\triangleright y_{1}\right)\mathcal{\ R}_{y}\ \left(v\triangleright y_{2}\right)

$$ On suppose qu'il existe un isomorphisme $\varphi:X\rightarrow Y$ vérifiant
\begin{align*}
\forall u\in U,\ \exists!v\in V,\ \forall x\in X,\qquad &\varphi(u\diamond x)=v\triangleright\varphi(x) \\
\forall v\in V,\ \exists!u\in U,\ \forall y\in Y,\qquad &\varphi^{-1}\left(v\triangleright y\right)=u\diamond\varphi^{-1}(y)

\end{align*} Avec ces conditions a-t-on $\varphi$ qui préserve les relations d'équivalence comme suit.
\begin{align*}
x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}&\ \Longleftrightarrow\ \varphi\left(x_{1}\right)\mathcal{\ R}_{y}\ \varphi\left(x_{2}\right)
\\
y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}&\ \Longleftrightarrow\ \varphi^{-1}\left(y_{1}\right)\mathcal{\ R}_{x}\ \varphi^{-1}\left(y_{2}\right)

\end{align*} Pour l'instant je m'emmêle les pinceaux et je n'arrive pas à le montrer alors que j'ai le sentiment que c'est évident. Mais ce ne doit pas être le cas et ces conditions ne sont sans doute pas suffisantes. Je ne vois cependant pas quoi ajouter. Peut-être une condition sur $\mathcal{R}_{x}$ et $\mathcal{R}_{y}$ ? Merci pour toutes vos remarques y compris sur d'éventuelles énormités. Si vous connaissez un livre où des références qui pourraient m'aider à aller progressivement plus loin dans ce domaine des structures en algèbre je suis aussi preneur.
Bonne journée à toutes et tous.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ta question commence mal : "Soit $X$ et $Y$ deux ensembles isomorphes entre eux". C'est moi qui souligne. Comme il n'y a pas de structure, "isomorphe" n'a pas vraiment de sens. Si tu veux dire qu'il existe une bijection entre les deux, tu peux dire "de même cardinal". Et tu reprends la même idée avec ton "isomorphisme $\varphi$".

    Cordialement.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Le résultat est faux : prendre $U=V = 1$ et constater qu'alors tes hypothèses ne disent rien de plus que "$\varphi$ est une bijection"
  • Boécien
    Boécien
    Merci à Gérard et Maxtimax pour ces remarques. Voici une tentative de correctif de l'énoncé où je crée une structure pour $X$ et $Y$ (je pense à des espaces topologiques de dimension infinie connexes par arcs) et $U$ et $V$ ne peuvent plus être triviaux. J'ajoute aussi une condition sur leur action par rapport à la relation d'équivalence car j'imagine qu'ils permettent de passer d'une classe d'équivalence à une autre de manière continue.

    Soit donc $X$ et $Y$ deux espaces topologiques connexes par arcs et isomorphes entre eux. Soit $\mathcal{R}_{x}$ et $\mathcal{R}_{y}$ deux relations d'équivalence sur $X$ et $Y$ respectivement. Soit $\left(U,\diamond\right)$ et $\left(V,\triangleright\right)$ deux monoïdes isomorphes au monoïde $\left(]0,1],\times\right)$ qui agissent sur $X$ et $Y$ de la manière suivante.

    • $\forall\left(x_{1},x_{2}\right)\in X^{2},\ \exists!u\in U$ tel que, soit $u\diamond x_{1}\in\bar{x_{2}}$, soit $u\diamond x_{2}\in\bar{x_{1}},$ où $\bar{x_{i}}$ est la classe d'équivalence de $x_{i}$ selon $\mathcal{R}_{x}$.

    • $\forall\left(y_{1},y_{2}\right)\in Y^{2},\ \exists!v\in V$ tel que, soit $v\triangleright y_{1}\in\bar{y_{2}}$, soit $v\triangleright y_{2}\in\bar{y_{1}},$ où $\bar{y_{i}}$ est la classe d'équivalence de $y_{i}$ selon $\mathcal{R}_{y}$.

    • $\forall\left(u,v\right)\in U\times V,\ \forall\left(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\right)\in X\times X\times Y\times Y$ on a :
    $$
    x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Rightarrow\left(u\diamond x_{1}\right)\mathcal{\ R}_{x}\ \left(u\diamond x_{2}\right)
    \\
    y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Rightarrow\left(v\triangleright y_{1}\right)\mathcal{\ R}_{y}\ \left(v\triangleright y_{2}\right)

    $$ On suppose qu'il existe un isomorphisme $\varphi:X\rightarrow Y$ tel que :
    $$
    \forall u\in U,\ \exists!v\in V,\ \forall x\in X,\quad v\triangleright\varphi(x)=\varphi(u\diamond x)\hphantom{~^-1} \\
    \forall v\in V,\ \exists!u\in U,\ \forall y\in Y,\quad u\diamond\varphi^{-1}(y)=\varphi^{-1}\left(v\triangleright y\right)

    $$ Avec ces conditions est-il possible que
    $$x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Leftrightarrow\varphi\left(x_{1}\right)\mathcal{\ R}_{y}\ \varphi\left(x_{2}\right) \hspace{8mm}\\
    y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Leftrightarrow\varphi^{-1}\left(y_{1}\right)\mathcal{\ R}_{x}\ \varphi^{-1}\left(y_{2}\right)$$
  • Boécien
    Boécien
    Désolé j'ai mal noté l'action des monoïdes en confondant avec la loi interne. Je reformule ma question avec la convention que l'image d'un $m$ d'un monoïde $M$ sur un $a$ d'un ensemble $A$ est notée $m.a$.

    • $X$ et $Y$ sont deux espaces topologiques connexes par arcs et isomorphes entre eux.

    • $\mathcal{R}_{x}$ et $\mathcal{R}_{y}$ sont deux relations d'équivalence sur $X$ et $Y$ respectivement.

    •$ \left(U,\diamond\right)$ et $\left(V,\triangleright\right)$ sont deux monoïdes isomorphes au monoïde $\left(]0,1],\times\right)$ qui agissent sur $X$ et $Y$ comme suit :
    $\forall\left(u,v\right)\in U\times V,\ \forall\left(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\right)\in X\times X\times Y\times Y$ on a :
    $$
    x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Leftrightarrow u.x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ u.x_{2}
    \\
    y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Leftrightarrow v.y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ v.y_{2}

    $$ $\exists!u\in U$ tel que soit $u.x_{1}\in\bar{x_{2}}$, soit $u.x_{2}\in\bar{x_{1}},$ où $\bar{x_{i}}$ est la classe d'équivalence de $x_{i}$ selon $\mathcal{R}_{x}$.
    $\exists!v\in V$ tel que soit $v.y_{1}\in\bar{y_{2}}$, soit $v.y_{2}\in\bar{y_{1}}$ où $\bar{y_{i}}$ est la classe d'équivalence de $y_{i}$ selon $\mathcal{R}_{y}$.

    • On suppose qu'il existe un isomorphisme $\varphi:X\rightarrow Y$ tel que :
    $$
    \forall v\in V,\ \exists!u\in U,\ \forall y\in Y,\quad u.\varphi^{-1}(y)=\varphi^{-1}\left(v.y\right)
    \\
    \forall u\in U,\ \exists!v\in V,\ \forall x\in X,\quad v.\varphi(x)=\varphi(u.x)

    $$ Avec ces conditions peut-on déduire :
    $$
    x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Leftrightarrow\varphi\left(x_{1}\right)\mathcal{\ R}_{y}\ \varphi\left(x_{2}\right)
    \\
    y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Leftrightarrow\varphi^{-1}\left(y_{1}\right)\mathcal{\ R}_{x}\ \varphi^{-1}\left(y_{2}\right)$$
  • Boécien
    Boécien
    J'essaye de reformuler ma question en essayant de moins généraliser et en revenant au cas qui m'interroge en espérant ne pas faire d'erreur.

    Soit $X$ et $Y$ deux espaces topologiques connexes par arcs tels que chaque élément $x$ de $X$ et chaque élément $y$ de $Y$ sont caractérisés par des nombres réels uniques $\alpha(x)>0$ et $\beta(y)>0$. Soient deux monoïdes $\Big(U=\left\{ u_{\lambda}\Big\} _{\lambda\in]0,1]},\circ\right)$ et $\Big(V=\left\{ v_{\lambda}\right\} _{\lambda\in]0,1]},\circ\Big)$ isomorphes au monoïde $\left(]0,1],\times\right)$ c'est-à-dire que pour tout $\left(\lambda_{1},\lambda_{2}\right)\in]0,1]^{2}$ on a:
    \begin{align*}
    u_{\lambda_{1}}\circ u_{\lambda_{2}}&=u_{\lambda_{1}\lambda_{2}}\\
    v_{\lambda_{1}}\circ v_{\lambda_{2}}&=v_{\lambda_{1}\lambda_{2}}

    \end{align*} On fait l'hypothèse qu'ils agissent sur $X$ et $Y$ de la même manière suivante. $\forall\lambda\in]0,1],\ \forall\left(x,y\right)\in X\times Y$ :
    \begin{align*}
    \alpha\left(u_{\lambda}(x)\right)&=\lambda\alpha(x) \\

    \beta\left(v_{\lambda}(y)\right)&=\lambda\beta(y)

    \end{align*} On suppose qu'il existe un isomorphisme $\varphi:X\rightarrow Y$ tel que
    \begin{align*}
    \beta\big(\varphi(u_{\lambda}(x))\big)&=\lambda\beta(\varphi(x)) \\

    \alpha\big(\varphi^{-1}\left(v_{\lambda}(y)\right)\big)&=\lambda\alpha(\varphi^{-1}(y))

    \end{align*}Avec ces seules conditions peut on dire que
    $$
    \alpha(x_{1})=\alpha(x_{2})\Rightarrow\beta(\varphi(x_{1}))=\beta(\varphi(x_{2})).

    $$ J'avais pensé qu'en introduisant les relations d'équivalence $\mathcal{R}_{x}$ et $\mathcal{R}_{y}$ sur $X$ et $Y$ définies par
    $x_{1}\mathcal{\ R}_{x}\ x_{2}\Leftrightarrow\alpha\left(x_{1}\right)=\alpha\left(x_{2}\right)$
    $y_{1}\mathcal{\ R}_{y}\ y_{2}\Leftrightarrow\beta\left(y_{1}\right)=\beta\left(y_{2}\right)$
    on pourrait montrer qu'il existe une bijection entre les ensembles quotients $X/\mathcal{R}_{x}$ et $Y/\mathcal{R}_{y}$ mais je tourne en rond et j'ai l'impression que ce n'est pas possible de montrer ça.
  • Boécien
    Boécien
    Je reviens avec ma question sous une forme un peu différente en changeant les notations en espérant plus de clarté. J'ai l'impression de ne pas “voir” ce qui est évident.

    Nous avons :
    - deux espaces topologiques $X$ et $Y$ connexes par arcs,
    - un ensemble de transformations sur $X$ que je note$ \left\{ u_{\lambda}\right\} _{\lambda\in]0,1]}$,
    - un ensemble de transformations sur $Y$ que je note $\left\{ v_{\lambda}\right\} _{\lambda\in]0,1]}$,
    - une fonction $f:X\rightarrow\mathbb{R^{+*}}$, surjective et continue dont l'image est $\mathbb{R^{+*}}$,
    - une fonction $g:Y\rightarrow\mathbb{R^{+*}}$, surjective et continue dont l'image est $\mathbb{R^{+*}}$.

    Les fonctions $f$ et $g$ vérifient par rapport aux transformations $u_{\lambda}$ et $v_{\lambda}$ la même propriété suivante pour tout $(x,y,\lambda)\in X\times Y\times]0,1]$ :
    $$
    f\big(u_{\lambda}(x)\big)=\lambda f(x)~\\

    g\big(v_{\lambda}(x)\big)=\lambda g(x).

    $$ Enfin il existe une application bijective et continue $\varphi:X\rightarrow Y$ telle que les transformations $u_{\lambda}$ et $v_{\lambda}$ sont reliées entre-elles comme suit
    $$
    \varphi\big(u_{\lambda}(x)\big)=v_{\lambda}\big(\varphi(x)\big).

    $$ Avec ces conditions peut-on dire pour $(x,x')\in X\times X$ :
    $$
    f(x)=f(x')\quad\Longrightarrow\quad g\big(\varphi(x)\big)=g\big(\varphi(x')\big),

    $$ où manque-t-il quelque chose ?

    En supposant qu'il existe $(x,x')\in X\times X$ tels que $f(x)=f(x')$ avec $g\left(\varphi(x)\right)\neq g\left(\varphi(x')\right)$ j'ai essayé sans succès d'arriver à une contradiction ce qui tend à me faire penser qu'il manque des conditions pour arriver à la conclusion désirée.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Voici un contre-exemple : je prends $X=Y, u_\lambda = v_\lambda$, $\varphi = id_X$. Il suffit alors de trouver $f$ et $g$ qui satisfont tes conditions, mais sont très différentes.

    Bah je prends $X= \mathbb R_+^* \times\mathbb R_+^*$, $u_\lambda(x,y) = (\lambda x, \lambda y)$, $f= $ la projection sur la première coordonnée, $g$ sur la seconde coordonnée.
  • Boécien
    Boécien
    Merci Maxtimax pour ce contre-exemple simple mais ingénieux, j'y vois plus clair. Il faut que je sois plus spécifique. Je vais creuser.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 11

FoysHéhéhébiguine_equationi.zitoussinoobey +6 Invités