Réduction de Jordan d'une matrice
dans Algèbre
Bonjour à tous
Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment on jordanise une matrice à polynôme caractéristique scindé, à plusieurs valeurs propres distinctes ?
Merci d'avance.
Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment on jordanise une matrice à polynôme caractéristique scindé, à plusieurs valeurs propres distinctes ?
Merci d'avance.
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Réponses
Je devine un peu ce que tu veux dire mais… non je ne souhaite pas faire de la divination.
Franchement le mot souligné en gras n’apporte rien puisque quand les valeurs propres sont distinctes, sauf cas triviaux, a priori elles sont plusieurs.
Reformule ça proprement.
Édit : Poirot, tu es bien serviable ;-)
Avec une interprétation, disons ordinaire, c’est presque une sotte question ou plutôt c’est encore utiliser un mot pour faire bien et même une théorie pour paraître mondain alors qu’en réalité ça peut vouloir signifier « comment on diagonalise quand le polynôme caractéristique est scindé à racines simples ?».
Bref.
Par exemple, pour la matrice suivante, $ A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} $, son polynôme caractéristique, est $ P(X) = (X+1)^2 (X-1)(X-2) $.
Comment trouver la réduite de Jordan $ J $, ainsi que la matrice de passage $ P $ telle que, $ A = P^{-1} J P $ ?
Merci d'avance.
Pablo, la première chose à faire, c'est quand même d'étudier le cours sur la jordanisation !!
C'est quand même plus simple que Hodge
Cordialement,
Rescassol
Uniquement pour vérifier tes calculs (ton produit est à l'envers): Donne le résultat: Cordialement,
Rescassol
Trouver la forme de Jordan n'est en général pas très difficile. Le polynôme caractéristique te donne les coefficients diagonaux ainsi que leur multiplicité, si $\alpha$ est une racine de multiplicité $k$ la dimension du sous-espace caractéristique associé est $k$ et on se retrouve avec $k$ fois le coefficient $\alpha$ sur la diagonale. Reste à savoir où placer les $1$ et les $0$ de la surdiagonale, pour ça on a plusieurs outils. La dimension de l'espace propre associé à $\alpha$ donne le nombre de blocs de Jordan associés à $\alpha$ et la multiplicité de $\alpha$ dans le polynôme minimal donne la taille du plus grand bloc de Jordan.
Avec ces informations on peut déjà déterminer la quasi totalité des formes de Jordan que l'on devrait trouver "à la main". En effet on peut déjà trouver toutes les formes de Jordan des endomorphismes dont les valeurs propres sont de multiplicité inférieures ou égales à $6$, l’ambiguïté n'arrive qu'à partir de la multiplicité $7$. Par exemple si $u$ est un endomorphisme tel que $P_u(X) = (X-1)^7$, $\mu_u(X)=(X-1)^3$ et $\dim\ker(u-1) = 3$ on sait que :
-Tous les blocs de Jordan sont associés à la valeur propre $1$ et la somme de leurs dimensions fait $7$.
-Le plus grand bloc de Jordan est de taille $3$.
-Il y a au total trois blocs de Jordan.
Il existe cependant deux décompositions qui vérifient ces propriétés, $7=1+3+3$ (ie deux blocs de taille $3$ et un bloc de taille $1$) et $7=2+2+3$ (un bloc de taille $3$, deux blocs de taille $2$) et les deux formes de Jordan associées ne sont pas semblables. Pour savoir à quelle forme de Jordan on a affaire il faut regarder ce que l'on appelle les noyaux itérés. Ici on regarde $\ker((u-1)^2)$, si il vaut $5$ c'est qu'on a la décomposition $7=2+2+3$ et si il vaut $4$ c'est qu'on a la décomposition $7=1+3+3$. Pour plus de détails là dessus le mieux est encore que tu ailles lire un cours complet sur la réduction de Jordan.
Maintenant se pose la question de déterminer une base de Jordan associée. On suppose qu'on connait déjà la forme de Jordan et on se restreint au seul sous-espace caractéristique associé à la valeur propre $\lambda$, comme ils sont en somme directe il suffit de faire la même chose pour tous les autres espaces caractéristiques. Supposons que le plus grand bloc de Jordan soit de taille $k$, on cherche alors un vecteur $x$ tel que $(u-\lambda)^k x= 0$ (ie $x$ est un élément du sous-espace caractéristique) et $(u-\lambda)^{k-1}x \neq 0$. Les premiers vecteurs de notre base seront alors $((u-\lambda)^{k-1}x, \ldots, (u-\lambda)^2 x, (u-\lambda) x, x)$, je te laisse vérifier que cette famille est libre. Une fois qu'on a fait ça on recommence avec les autres blocs de Jordan en commençant toujours par les plus grands et en s'assurant que les bases associées à chaque bloc de Jordan sont bien en somme directe. Cette dernière condition peut être problématique à vérifier. Pour la plupart des exercices où il faut faire les calculs à la main ce n'est pas très difficile de bidouiller pour trouver les bons vecteurs mais dans le cas général ce n'est pas évident. Un façon de faire est alors de remarquer que $\mathrm{vect}((u-\lambda)^{k-1}x, \ldots, (u-\lambda)^2 x, (u-\lambda) x, x)$ est stable par $u$ et qu'il admet un supplémentaire $F$ qui lui aussi est stable par $u$. On exprime alors $u$ restreint à $F$ et on recommence : on cherche une base associée au plus grand bloc de Jordan de $u_{|F}$, on cherche un supplémentaire stable etc. Si le but est de faire les calculs à la main... attention à la tendinite 8-)
Pourrais tu donner un lien ?
Cordialement,
Rescassol
Merci, Renart.
Cordialement,
Rescassol
Pour la matrice $A$ donnée par Pablo, la méthode de Renart donne
pour une valeur propre $\lambda$ non simple on s'intéresse aux noyaux $\ker(A-\lambda I)^k$ , $k$ étant inférieur ou égal à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique.
Ici pour $\lambda=-1$
$\ker(A+I)$ est de dimension $1$ : c'est évidemment l'espace propre relatif à la valeur propre $-1$
$\ker(A+I)^2$ est dimension $2$ et contient évidemment le noyau précédent.
Donc en posant $M=A+I,\ $ il existe $V$ tel que $M^2V=0$ avec $MV$ non nul : plusieurs choix possibles pour $V$, par exemple $^t (0,-1,1,-1)$.
On vérifie facilement que $ MV,V$ sont linéairement indépendant et $\ AMV=-MV$ et $AV=MV-V$.
Et donc si $V_1$ est un vecteur propre relatif à $1$, $V_2$ est un vecteur propre relatif à $2$, alors la base $(V_1,V_2,MV, V)$ jordanise $A$.
Un peu de lecture.
Cordialement,
Rescassol