Matrices nilpotentes et classe de similitude

Je continue, je viens de tomber sur cette seconde caractérisation que je ne connaissais pas:
$M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est diagonalisable si et seulement si sa classe de similitude $\mathcal{C}_{M}$ est fermée.

Je chercherai un peu quand j'aurai le temps, je vois simplement que:

• sens direct: je ne vois pas encore (le polynôme minimal n'est pas continu, il faut que je fasse attention à ça).
• réciproque: en utilisant les mêmes matrices $P_{\varepsilon}$ qu'auparavant $P_{\varepsilon_{n}}MP_{\varepsilon_{n}}^{-1}\rightarrow diag(\mu_{1}, ..., \mu_{n}) \in \mathcal{C}_{M}$.

En fait certaines idées me sont venues en écrivant ici, ce qui fait que je pense avoir résolu le premier exercice, effectivement.

Je crois que je vois mon erreur: je n'ai pas besoin de la continuité (fausse) de $M \mapsto \pi_{M}$ car j'utilise simplement le fait que si $L \in \overline{\mathcal{C}_{M}}$ est approchée par $M_{k}$, alors $\pi_{M}(M_{k})=0$ ($\pi_{M}$ étant un invariant de similitude) et donc $\pi_{M}(L)=0$ par continuité du polynôme. $L$ est donc diagonalisable.
La continuité de $M \mapsto \chi_{M}$ permet de conclure que $\chi_{M}=\chi_{L}$, c'est-à-dire que les valeurs propres sont les mêmes avec mêmes multiplicités, et donc que $L$ et $M$ sont semblables à la même matrice diagonale.