Groupe des fractions monoïde non commutatif

Bonjour,
j'en appelle à la sagacité collective pour compenser mes défaillances.

Dans le tome d'Algèbre de Bourbaki, l'exercice A I.1.§2 n°17 a pour but de généraliser la construction du groupe des fractions d'un module monoïde $(\mathbf{M},\cdot,e)$ commutatif à dénominateur dans un sous-module sous-monoïde $\mathbf{S}$ au cas où le module monoïde n'est pas commutatif. En voici le début de l'énoncé.
Soit $(\mathbf{M},\cdot,e)$ un monoïde et $\mathbf{S}$ une partie stable de $\mathbf{M}$ pour la loi $\cdot$ possédant les propriétés suivantes :
- (P1) $\forall (a,p) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S}, \ \exists (b,q) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S},\ a \cdot q = p \cdot b$
- (P2) $\forall (a,b,p) \in \mathbf{M}\times\mathbf{M}\times \mathbf{S},\ p \cdot a = p \cdot b \implies \exists q \in \mathbf{S},\ a \cdot q = b \cdot q$.

Dans $\mathbf{M}\times \mathbf{S}$, on note $\sim$ la relation définie comme suit :
$\forall \left( (a,p) , (b,q) \right) \in (\mathbf{M}\times \mathbf{S})^2,\ (a,p) \sim (b,q) \iff \exists (p',q') \in \mathbf{S}^2,\ (a \cdot p' = b \cdot q') \land (p \cdot p' = q \cdot q')$.
Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.

J'échoue à montrer sa transitivité, ce qui devrait pourtant être assez simple.
Remarques.
- Lorsque $\mathbf{M}$ est commutatif les propriétés (P1) et (P2) sont vérifiées pour toute partie stable $\mathbf{S}$ et la relation $\sim$ est égale à la relation d'équivalence permettant de construire le groupe des fractions d'un module commutatif (i.e. $(a,p) \simeq (b,q) \iff \exists s \in S,\ a \cdot q \cdot s = b \cdot p \cdot s$).
- En modifiant légèrement les propriétés vérifiées par $\mathbf{S}$ le résultat est immédiat.
- Dans l'ouvrage, il y a une coquille dans la suite de l'énoncé (il est supposé que $e\in\mathbf{S}$) ce qui me laisse dubitatif.
Une âme charitable pourra-t-elle m'épargner d'autres nombreuses heures à tourner en rond ?
Merci d'avance.