Groupe des fractions monoïde non commutatif
Bonjour,
j'en appelle à la sagacité collective pour compenser mes défaillances.
Dans le tome d'Algèbre de Bourbaki, l'exercice A I.1.§2 n°17 a pour but de généraliser la construction du groupe des fractions d'un module monoïde $(\mathbf{M},\cdot,e)$ commutatif à dénominateur dans un sous-module sous-monoïde $\mathbf{S}$ au cas où le module monoïde n'est pas commutatif. En voici le début de l'énoncé.
Soit $(\mathbf{M},\cdot,e)$ un monoïde et $\mathbf{S}$ une partie stable de $\mathbf{M}$ pour la loi $\cdot$ possédant les propriétés suivantes :
- (P1) $\forall (a,p) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S}, \ \exists (b,q) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S},\ a \cdot q = p \cdot b$
- (P2) $\forall (a,b,p) \in \mathbf{M}\times\mathbf{M}\times \mathbf{S},\ p \cdot a = p \cdot b \implies \exists q \in \mathbf{S},\ a \cdot q = b \cdot q$.
Dans $\mathbf{M}\times \mathbf{S}$, on note $\sim$ la relation définie comme suit :
$\forall \left( (a,p) , (b,q) \right) \in (\mathbf{M}\times \mathbf{S})^2,\ (a,p) \sim (b,q) \iff \exists (p',q') \in \mathbf{S}^2,\ (a \cdot p' = b \cdot q') \land (p \cdot p' = q \cdot q')$.
Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
J'échoue à montrer sa transitivité, ce qui devrait pourtant être assez simple.
Remarques.
- Lorsque $\mathbf{M}$ est commutatif les propriétés (P1) et (P2) sont vérifiées pour toute partie stable $\mathbf{S}$ et la relation $\sim$ est égale à la relation d'équivalence permettant de construire le groupe des fractions d'un module commutatif (i.e. $(a,p) \simeq (b,q) \iff \exists s \in S,\ a \cdot q \cdot s = b \cdot p \cdot s$).
- En modifiant légèrement les propriétés vérifiées par $\mathbf{S}$ le résultat est immédiat.
- Dans l'ouvrage, il y a une coquille dans la suite de l'énoncé (il est supposé que $e\in\mathbf{S}$) ce qui me laisse dubitatif.
Une âme charitable pourra-t-elle m'épargner d'autres nombreuses heures à tourner en rond ?
Merci d'avance.
j'en appelle à la sagacité collective pour compenser mes défaillances.
Dans le tome d'Algèbre de Bourbaki, l'exercice A I.1.§2 n°17 a pour but de généraliser la construction du groupe des fractions d'un module monoïde $(\mathbf{M},\cdot,e)$ commutatif à dénominateur dans un sous-module sous-monoïde $\mathbf{S}$ au cas où le module monoïde n'est pas commutatif. En voici le début de l'énoncé.
Soit $(\mathbf{M},\cdot,e)$ un monoïde et $\mathbf{S}$ une partie stable de $\mathbf{M}$ pour la loi $\cdot$ possédant les propriétés suivantes :
- (P1) $\forall (a,p) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S}, \ \exists (b,q) \in \mathbf{M}\times \mathbf{S},\ a \cdot q = p \cdot b$
- (P2) $\forall (a,b,p) \in \mathbf{M}\times\mathbf{M}\times \mathbf{S},\ p \cdot a = p \cdot b \implies \exists q \in \mathbf{S},\ a \cdot q = b \cdot q$.
Dans $\mathbf{M}\times \mathbf{S}$, on note $\sim$ la relation définie comme suit :
$\forall \left( (a,p) , (b,q) \right) \in (\mathbf{M}\times \mathbf{S})^2,\ (a,p) \sim (b,q) \iff \exists (p',q') \in \mathbf{S}^2,\ (a \cdot p' = b \cdot q') \land (p \cdot p' = q \cdot q')$.
Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
J'échoue à montrer sa transitivité, ce qui devrait pourtant être assez simple.
Remarques.
- Lorsque $\mathbf{M}$ est commutatif les propriétés (P1) et (P2) sont vérifiées pour toute partie stable $\mathbf{S}$ et la relation $\sim$ est égale à la relation d'équivalence permettant de construire le groupe des fractions d'un module commutatif (i.e. $(a,p) \simeq (b,q) \iff \exists s \in S,\ a \cdot q \cdot s = b \cdot p \cdot s$).
- En modifiant légèrement les propriétés vérifiées par $\mathbf{S}$ le résultat est immédiat.
- Dans l'ouvrage, il y a une coquille dans la suite de l'énoncé (il est supposé que $e\in\mathbf{S}$) ce qui me laisse dubitatif.
Une âme charitable pourra-t-elle m'épargner d'autres nombreuses heures à tourner en rond ?
Merci d'avance.
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Réponses
La notion de module apparaît dès le chapitre II, pas avant. Sais-tu faire la différence entre un monoïde (ou semi-groupe) et un module ?
Cordialement,
Thierry
.
Évidemment il s'agit d'un monoïde pas d'un module ! J'avais vraiment la tête ailleurs.
Je rectifie dans mon message initial.
Merci pour la remarque.
Sinon, à part les notations, je ne vois pas de différence entre mon énoncé et le texte original. Comme visiblement je suis distrait, je peux me tromper. Dans ce cas, la transitivité avec les notations du Bourbaki me soulagerait tout autant.
Puisqu'on dispose du texte d'origine (ce que je n'avais pas sous la main) notez que la définition de $\varepsilon$ requiert bien $e\in \mathbf{S}$.
[Conjugaison du verbe requérir https://leconjugueur.lefigaro.fr/conjugaison/verbe/requerir.html ;-) AD]
Pour montrer la transitivité, on peut ajouter l'hypothèse que S = r.S pour tout $r\in S$ (translations à gauche surjectives) ou bien $S=S.r$. La deuxième est forte car alors pour $(r,s)\in S^2$, $(r,s)\sim (us,s)\sim (u,e)$...
Sinon pour que "e" soit naturellement inclus dans $S$, il faut considérer (comme dans le cours) le sous-monoïde $S'$ engendré par S. Ici comme S est stable, c'est $S\cup \{e\}$. On quotiente alors $E\times S'$.