Propriétés de corps finis

Ignotus
Ignotus
dans Algèbre
Bonjour à tous ,

Sachant que l'application $ \phi : \mathbb{K}[X] \rightarrow \mathbb{K}[x]$ est un isomorphisme d'anneaux pour $
\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$ mais cela n'est pas valable pour $\mathbb{F}_{p}$ , je sais ici que l'injectivité tombe en panne , je veux savoir pourquoi ! Merci :)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est quoi $x$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Poirot : j'imagine qu'il s'agit des fonctions polynômiales en une variable.

    Ignotus : combien d'applications polynômiales $\mathbb F_p\to\mathbb F_p$ y a-t-il ? Quelle est la taille de $\mathbb F_p[X]$ ? L'application peut-elle être injective ?
  • Ignotus
    Ignotus
    Bonjour ! je viens de trouver la généralisation de cette propriété , en effet l’application de K[X] dans K[x] qui à un polynôme formel associe sa fonction polynomiale est un isomorphisme d’anneaux pour K un corps infini c'est à dire de caractéristique nulle, et comme Fp est de caractéristique p non nulle , l'injectivité tombe en panne puisque l’application de A[X] dans A[x] qui à un polynôme formel associe sa fonction polynomiale est toujours un homomorphisme d'anneaux surjectif !
  • Poirot
    Poirot
    Attention, un corps infini n'est pas forcément de caractéristique nulle. Par exemple le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb F_p$ (autrement dit le corps des fractions de $\mathbb F_p[X]$) est de caractéristique $p$ et infini.
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