Inégalité de Hoffman-Wielandt
Bonjour,
Je m'attaque à la partie 1 de Centrale MP 2021.
Question $1$ :
Soit $P,Q \in O_n(\R)$ alors $P P^T=I_n$ et $Q Q^T=I_n$
On a $||PMQ||_F ^2= Tr( PMQ(PMQ)^T)=Tr(PMQ Q^T M^T P^T)=Tr(PMM^TP^T)$
La relation $Tr(AB)=Tr(BA)$ permet d'en déduire $||PMQ||_F ^2=Tr(P P^T MM^T)=Tr(M M^T)$
Une norme étant à valeurs positives, on en déduit $\boxed{||PMQ||_F =||M||_F}$
Question $2$ :
Les matrices $A$ et $B$ sont symétriques réelles, d'après le théorème spectral, elles sont diagonalisables.
Il existe $P \in O_n(\R)$ tel que $A=P D_A P^{-1}$ et il existe $P' \in O_n(\R)$ tel que $B=P' D_B P' ^{-1}$
Après je bloque.
Je m'attaque à la partie 1 de Centrale MP 2021.
Question $1$ :
Soit $P,Q \in O_n(\R)$ alors $P P^T=I_n$ et $Q Q^T=I_n$
On a $||PMQ||_F ^2= Tr( PMQ(PMQ)^T)=Tr(PMQ Q^T M^T P^T)=Tr(PMM^TP^T)$
La relation $Tr(AB)=Tr(BA)$ permet d'en déduire $||PMQ||_F ^2=Tr(P P^T MM^T)=Tr(M M^T)$
Une norme étant à valeurs positives, on en déduit $\boxed{||PMQ||_F =||M||_F}$
Question $2$ :
Les matrices $A$ et $B$ sont symétriques réelles, d'après le théorème spectral, elles sont diagonalisables.
Il existe $P \in O_n(\R)$ tel que $A=P D_A P^{-1}$ et il existe $P' \in O_n(\R)$ tel que $B=P' D_B P' ^{-1}$
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Réponses
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$$||A-B||_F ^2=Tr((A-B)(A-B)^T)=Tr((A-B)(A^T-B^T)) \\ =Tr(AA^T - AB^T -BA^T +BB^T)$$
Donc $||A-B||_F ^2=Tr(PD_A ^2 P^T +P' D_B ^2 P' ^T- PD_A P^{-1}(P' ^{-1})^T D_B P' ^T-P' D_B P' ^{-1}(P' ^{-1})^T D_A P' ^T)$
Je ne vois pas comment simplifier cette usine à gaz.
$B=P_B^t D_A P_B $ avec $P_A$ et $P_B$ orthogonale
$||A-B||^2=|| P_A (A-B)P_B^t||^2=||D_A P_A P_B^t - P_A P_B^t D_B||^2 =||D_A P - P D_B||^ 2 $$
et P est orthogonale.
Pas besoin d'usine à gaz si on regarde les questions précédentes.
Astucieuse la première écriture, dommage de donner la solution, je voulais la trouver moi-même.
Question $3$ :
Soient $(i,j) \in [|1,n|]^2$.
Calculons $[D_A P - PD_B]_{ij}$. On a $[D_A P - PD_B]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( [D_A]_{ik} p_{kj} -p_{ik} [D_B]_{kj} \right)$
Mais $\forall k \in [|1,n|] \ \ [D_A]_{ik}= \delta_{ik} \lambda_i (A)$ et $[D_B]_{kj} =\delta_{kj} \lambda_j (B)$ car $D_A$ et $D_B$ sont diagonales.
D'où $[D_A P - PD_B]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{ik} \lambda_i (A) p_{kj} - \displaystyle\sum_{k=1}^n p_{ik} \delta_{kj} \lambda_j (B)$
Ainsi $\boxed{[D_A P - PD_B]_{ij}=p_{ij} (\lambda_i (A) - \lambda_j(B) )}$
L'indication de @Zig permet de conclure.
Le rapport du jury dit que la fin du sujet comporte des questions très difficiles (la question 36 réussie par uniquement 10 candidats). Mais que les réponses aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie.
J'aimerais l'avis d'experts pour savoir quelles sont exactement les questions très difficiles du sujet (comme ça je pourrais les sauter quand je chercherai).
centrale maths 1 mp 2021