Et en caractéristique 2 ?

Bonjour,

Je donne chaque année l'exercice suivant :Soit $u$ un endomorphisme d'un $\K$ espace vectoriel $E$. Montrer l'équivalence en les propriétés suivantes :

1. $u^2=\tilde{0}$,
2. il existe un projecteur $p$ de $E$ tel que $p\circ u = u$ et $u \circ p=\tilde{0}$,
3. il existe un projecteur $p$ de $E$ tel que $p\circ u -u\circ p= u$.

La démonstration ne pose aucun problème lorsque $\K$ est $\R$ ou $\C$.
Il est facile de prouver que les propositions $1$ et $2$ sont équivalentes pour n'importe quel corps et il est trivial que $2 \Rightarrow 3$.
En revanche, l'implication $3 \Rightarrow 2$ que je connais demande une division par $2$... et un élève un peu plus malin que les autres m'a demandé : "Et si le corps est de caractéristique $2$, le résultat est-il encore vrai ?"

Bien évidemment, je ne savais pas répondre à la question... et bien que j'ai un peu tourné le problème de plusieurs façons, je n'ai pas trouvé la réponse. J'ai même l'impression qu'il n'y a pas d'autre moyen que de diviser par $2$... ce qui tendrait à suggérer qu'il existe un contre-exemple, que j'avoue ne pas avoir cherché.

Si vous avez une idée à ce sujet, je suis preneur.