Équation x^2=4, pas si simple pour moi

Le problème, c'est que tu estimes que prendre la racine carrée de ton équation ne change pas l'ensemble des solutions, alors que c'est précisément ce qui arrive.

Connais-tu le graphe de la fonction $x \longmapsto x^2$ ?

Autre remarque :

Sais-tu résoudre dans $\mathbb R$, l’équation suivante d’inconnue $x$ ?

$$|x|=2$$

Et cet "oubli" est favorisé par l'exercice classique qui utilise Pythagore pour calculer une longueur.

Cela dit, il y a un temps pour tout, je crois qu'on n'y peut pas grand chose.

On peut répondre de manière plus exacte, en risquant d'embrouiller la personne qui a créé le fil (je vais utiliser des termes du supérieur juste pour expliquer ce qu'il se passe).

Résoudre une équation $f(x)=y$, c'est chercher les éléments $x \in E$ où $E$ est un ensemble donné tels que $f(x)=y$, en écrivant "$x=\dots$". $y$ est naturellement dans un ensemble $F$ donné qui est l'ensemble d'arrivée de $f$. Donc on dispose d'une fonction (une application techniquement, mais on a un néophyte in the house) $f : E \longrightarrow F$.

La seule manière de résoudre parfaitement une équation, c'est de trouver une fonction $g : F \longrightarrow E$ telle que $g \circ f = \text{id}_F$ : c'est la fonction (application) $F \longrightarrow F$ définie par $x \longmapsto x$. On appelle ça un inverse à gauche, et ça existe $\Longleftrightarrow$ $f$ est injective.

EDIT/ajout important : L'idée est d'écrire $f(x)=y \Longleftrightarrow x=g(y)$, c'est comme ça qu'on complète proprement "$x=\dots$".

Une fonction (application) est dite injective si elle n'envoie jamais deux éléments sur la même image. En l'occurrence, ici :

$f : \R \longrightarrow \R$, $x \longmapsto x^2$ n'a pas la gentillesse d'être injective sur $\R$, puisque $x^2$ et $(-x)^2$ sont toujours égaux. Cependant, elle est toujours à valeurs dans $\R_+$, alors autant remplacer son ensemble d'arrivée $\R$ par $\R_+$ tout de suite : $f : \R \longrightarrow \R_+$ dès maintenant.

Pas injective ? Pas grave, en réfléchissant un peu plus, $f$ est injective sur $\R_+$ et sur $\R_-$, alors mon charabia s'applique. Il suffit de "découper l'équation en deux" : on va résoudre séparément $x^2=y$ sur $\R_+$ et sur $\R_-$. C'est pour ça qu'il y a des "$x=$ machin ou $x=$ truc" qui apparaissent.

On résout d'abord dans $\R_+$ : je redéfinis $f$ en replaçant son ensemble de définition par $\R_+$, donc ici, j'ai $f : \R_+ \longrightarrow \R_+$, $x \longmapsto x^2$. Vu que $x^2 \in \R_+$, sa racine carrée est définie : pour tout $x \in \R_+$, $\sqrt{x^2}=x$. Ben ça, ça veut dire que j'ai mon inverse à gauche $g$ : c'est $g(x)=\sqrt{x}$, elle aussi définie $\R_+ \longrightarrow \R_+$.

Donc sur $\R_+$ : $x^2=y \Longleftrightarrow y = \sqrt{x}$. Et ça existe bel et bien puisque $x$ est supposé positif (parce que, justement, c'est sur $\R_+$ que je résous !)

Ensuite, on résout sur $\R_-$, j'ai donc $f : \R_- \longrightarrow \R_+$, $x \longmapsto x^2$. Je peux toujours prendre la racine de $x^2$, puisque ce carré est positif, mais on n'aura pas $\sqrt{x^2}=x$ cette fois : eh oui, $x$ est négatif ici, et la racine carrée d'un nombre positif, ben c'est c'est un nombre positif. Peu importe, il suffit de rajouter le moins : $-\sqrt{x^2}=x$, là c'est juste quand $x \in \R_-$. Donc pour cette fonction $f$, c'est $g(x) = -\sqrt{x}$ qu'il faut définir, définie cette fois $\R_+ \longrightarrow \R_-$.

Si tu es courageux/se?, je te laisse réfléchir à ces histoires, oui il y a des notions du supérieur mais c'est du niveau du premier semestre.