Le sous-groupe des carrés ?
Bonjour
Dans un groupe non abélien G le sous-ensemble des carrés est stable pour le passage à l'inverse et contient l'élément neutre de G mais est-il nécessairement stable pour le produit (en d'autre terme est-il un sous-groupe de G) ? Je pense que non mais les petits groupes non abéliens que j'ai testés ne m'ont pas fourni de contre-exemple.
Merci pour vos contributions.:-)
Dans un groupe non abélien G le sous-ensemble des carrés est stable pour le passage à l'inverse et contient l'élément neutre de G mais est-il nécessairement stable pour le produit (en d'autre terme est-il un sous-groupe de G) ? Je pense que non mais les petits groupes non abéliens que j'ai testés ne m'ont pas fourni de contre-exemple.
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Réponses
En parallèle je suis tombé sur cet exercice (aisé) établissant que lorsque G est d'ordre impair alors la fonction carrée est une bijection de G dans G - et dans ce cas les carrés forment effectivement un sous groupe de G.
Le premier exemple de groupe non commutatif (fini) pour lequel l'ensemble des carrés n'est pas un sous-groupe est $\mathfrak A_4$.
En effet chaque élément d'ordre 3 est le carré de son inverse, mais les éléments d'ordre 3 engendrent $\mathfrak A_4$ tout entier, qui contient des éléments d'ordre 2 (ceux-ci ne pourraient être que le carré d'un élément d'ordre 4 qui n'existe pas dans $\mathfrak A_4$).
Alain
@Poirot: ta capture d'écran ne s'est pas initialement affichée sur le mien, mais je me doutais que ta réponse fulgurante devait résulter d'une assistance informatique.
-- Schnoebelen, Philippe
J'aurais pu faire mieux. On part de la liste $C$ des classes de conjugaison. Pour $c$ dans $C$, on choisit un élément $g$ de $C$, on calcule son carré, puis la classe $c2$ d'équivalence de $g^2$, on détermine l'indice de $c2$ dans la liste $C$ et on élimine les doublons : les indices forment l'ensemble $K$ (comme « carrés »). Il n'y a plus qu'à ajouter les cardinaux des classes de conjugaison d'indice $k$ dans $K$ Edit : même calcul avec $\mathfrak{A}_4$.
@AD: merci pour l'exemple