Base de vecteurs propres dans $\R^3$
Bonjour
Dans mon TD on me demande de trouver une base de R^3 constituée de vecteurs propres de la matrice
J'ai trouvé comme vecteurs propres (1,-1,2) et (-1,1,1).
Je ne sais pas comment procéder.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Dans mon TD on me demande de trouver une base de R^3 constituée de vecteurs propres de la matrice
3 1 -2 1 3 2 -2 2 0J'ai trouvé comme valeurs propres -2 et 4.
J'ai trouvé comme vecteurs propres (1,-1,2) et (-1,1,1).
Je ne sais pas comment procéder.
Pouvez-vous m'aider svp ?
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Réponses
Il y a d'autres vecteurs propres pour la valeur propre 4, dont certains ne sont pas colinéaires à (-1,1,1).
Cordialement.
NB : Tu es sûr de ton (1,-1,2) ?
Oui (1, -1, 2) est bien vecteur propre
car la matrice multipliée par ce vecteur donne -2(1,-1,2)
Ca m'aide beaucoup, merci !
Si je sais encore faire de l'algèbre linéaire, il est tout à fait possible qu'une matrice $3 \times 3$ avec un polynôme caractéristique scindé de la forme $(X-a)(X-b)^2$ ne soit pas diagonalisable, auquel cas il n'y aurait aucune base de vecteurs propres.
Tu as dû faire un mélange compliqué avec la propriété : « Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. » Le mot distinctes est crucial.
Tu pourrais faire une explicitation systématique de chacun des sous-espaces propres par résolution du système linéaire qui va bien avec une méthode de pivot par exemple.